Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Вся система покоится, поэтому к каждому телу применимы условия равновесия. Груз $M$ — материальная точка, для него достаточно условия равенства нулю векторной суммы сил. Стержень $AB$ — абсолютно твёрдое тело, закреплённое на шарнире, поэтому для него используем условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей через шарнир $A$ перпендикулярно плоскости рисунка (при таком выборе оси неизвестная сила реакции шарнира момента не создаёт и в уравнение не входит). Стержень невесом, поэтому силу тяжести самого стержня не учитываем, а грузики массами $m_{1}$ и $m_{2}$ малы и считаются материальными точками. Блок идеальный (невесомый, вращается без трения), нить невесома и нерастяжима, поэтому натяжение нити одинаково по обе стороны блока и по всей её длине, а направлена сила натяжения вдоль нити. Поле тяжести вблизи Земли однородно.

Обозначения. $l = 40\ \text{см} = 0{,}4\ \text{м}$ — длина стержня $AB$; $b = AC = 25\ \text{см} = 0{,}25\ \text{м}$; $m_{1}=200\ \text{г}=0{,}2\ \text{кг}$ — масса грузика в точке $C$; $m_{2}=100\ \text{г}=0{,}1\ \text{кг}$ — масса грузика в точке $B$; $M$ — искомая масса груза; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол отклонения стержня от вертикали; $\beta = 30^{\circ}$ — угол между нитью $BP$ ($P$ — точка схода нити с блока) и вертикалью; $T$ — модуль силы натяжения нити; $g = 10\ \text{м/с}^{2}$.

Рисунок с указанием сил. На груз $M$ действуют две силы: сила тяжести $M\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх; модуль последней равен $T$. На стержень $AB$ действуют: в точке $A$ — сила реакции шарнира $\vec{R}$ (её направление заранее неизвестно, но её момент относительно оси, проходящей через $A$, равен нулю); в точке $C$ — сила тяжести грузика $m_{1}\vec{g}$, направленная вертикально вниз; в точке $B$ — сила тяжести грузика $m_{2}\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити от $B$ к блоку, то есть вверх под углом $\beta$ к вертикали.

Равновесие груза $M$. В проекции на вертикальную ось:

$$T - Mg = 0 \quad \Rightarrow \quad T = Mg.$$

Плечи сил относительно оси, проходящей через точку $A$. Стержень составляет с вертикалью угол $\alpha$, поэтому для вертикальной силы тяжести грузика, приложенной на расстоянии $r$ от точки $A$ вдоль стержня, плечо равно $r\sin\alpha$:

$$d_{1} = b\sin\alpha \ \ (\text{для } m_{1}\vec{g}), \qquad d_{2} = l\sin\alpha \ \ (\text{для } m_{2}\vec{g}).$$

Направление $AB$ составляет с вертикалью (вниз) угол $\alpha$, а нить $BP$ — с вертикалью (вверх) угол $\beta$ в ту же сторону; значит, угол между стержнем $AB$ и нитью равен $180^{\circ}-(\alpha+\beta)$, и плечо силы натяжения относительно точки $A$ равно

$$d_{3} = l\sin\!\left(180^{\circ}-(\alpha+\beta)\right) = l\sin(\alpha+\beta).$$

Правило моментов для стержня. Силы тяжести грузиков вращают стержень в одну сторону (увеличивая угол отклонения), сила натяжения нити — в противоположную:

$$T\,l\sin(\alpha+\beta) = m_{1}g\,b\sin\alpha + m_{2}g\,l\sin\alpha.$$

Математические преобразования. Подставим $T = Mg$ и сократим на $g$:

$$M\,l\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\,(m_{1}b + m_{2}l) \quad \Rightarrow \quad M = \frac{\sin\alpha\,(m_{1}b + m_{2}l)}{l\sin(\alpha+\beta)}.$$

Расчёт. При $\alpha=\beta=30^{\circ}$ имеем $\sin\alpha = 0{,}5$, $\sin(\alpha+\beta) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$:

$$m_{1}b + m_{2}l = 0{,}2\cdot 0{,}25 + 0{,}1\cdot 0{,}4 = 0{,}05 + 0{,}04 = 0{,}09\ \text{кг}\cdot\text{м},$$

$$M = \frac{0{,}5\cdot 0{,}09}{0{,}4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0{,}045}{0{,}346} \approx 0{,}13\ \text{кг}.$$

Ответ: $M = \dfrac{\sin\alpha\,(m_{1}b+m_{2}l)}{l\sin(\alpha+\beta)} \approx 0{,}13\ \text{кг} \approx 130\ \text{г}$.