Задание №26 — Вес тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Система покоится в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, поэтому к ней применимы условия равновесия. Груз $M$ считаем материальной точкой, для него достаточно условия равенства нулю векторной суммы приложенных сил. Стержень $AB$ — абсолютно твёрдое тело, закреплённое на неподвижном шарнире, поэтому для него записываем правило моментов относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка. Такой выбор оси удобен потому, что трения в шарнире нет, а линия действия силы реакции шарнира проходит через точку $A$, так что момент этой (неизвестной) силы относительно выбранной оси равен нулю. Грузики малые, поэтому их считаем материальными точками, а силы тяжести — приложенными в точках $C$ и $B$; стержень невесом, собственной силы тяжести у него нет. Нить невесома и нерастяжима, блок идеален (невесом, трение в его оси отсутствует), поэтому модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити. Поле тяжести вблизи поверхности Земли считаем однородным.

Обозначения. $m_1$ и $m_2$ — массы грузиков в точках $C$ и $B$; $M$ — масса подвешенного груза; $l = AB$ — искомая длина стержня; $b = AC$; $\alpha$ — угол отклонения стержня от вертикали; $\beta$ — угол нити с вертикалью; $T$ — модуль силы натяжения нити; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На груз $M$ действуют две силы: сила тяжести $M\vec g$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec T$, направленная вертикально вверх. На стержень действуют: сила тяжести грузика $m_1\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $C$; сила тяжести грузика $m_2\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $B$; сила натяжения нити $\vec T$ — приложена в точке $B$ и направлена вдоль нити от $B$ к блоку, то есть вверх и вправо под углом $\beta$ к вертикали; сила реакции шарнира — приложена в точке $A$.

1. Условие равновесия груза $M$:

$$T = Mg.$$

2. Правило моментов для стержня относительно оси $A$. Точка $B$ смещена относительно $A$ по горизонтали на $l\sin\alpha$ и по вертикали вниз на $l\cos\alpha$; точка $C$ смещена по горизонтали на $b\sin\alpha$.

Силы тяжести грузиков вертикальны, поэтому их плечи относительно точки $A$ равны горизонтальным смещениям точек приложения: моменты равны $m_1 g\, b\sin\alpha$ и $m_2 g\, l\sin\alpha$; оба вращают стержень в сторону увеличения угла $\alpha$.

Силу натяжения $\vec T$ разложим на вертикальную составляющую $T\cos\beta$ (вверх) и горизонтальную $T\sin\beta$ (в сторону блока). Плечо вертикальной составляющей относительно $A$ равно $l\sin\alpha$, плечо горизонтальной — $l\cos\alpha$; обе составляющие вращают стержень в противоположную сторону, поэтому суммарный момент силы натяжения равен

$$T\cos\beta\cdot l\sin\alpha + T\sin\beta\cdot l\cos\alpha = T l\sin(\alpha+\beta).$$

Условие равновесия стержня:

$$T l\sin(\alpha+\beta) = m_1 g\, b\sin\alpha + m_2 g\, l\sin\alpha.$$

3. Решение системы. Подставим $T = Mg$ и сократим на $g$:

$$M l\sin(\alpha+\beta) = m_1 b\sin\alpha + m_2 l\sin\alpha,$$

$$l\left(M\sin(\alpha+\beta) - m_2\sin\alpha\right) = m_1 b\sin\alpha,$$

$$l = \frac{m_1 b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta) - m_2\sin\alpha}.$$

4. Вычисления. $\alpha+\beta = 45^{\circ}+15^{\circ} = 60^{\circ}$, $\sin 45^{\circ} \approx 0{,}707$, $\sin 60^{\circ} \approx 0{,}866$:

$$l = \frac{0{,}1\cdot 0{,}25\cdot 0{,}707}{0{,}2\cdot 0{,}866 - 0{,}2\cdot 0{,}707}\ \text{м} = \frac{0{,}0177}{0{,}1732 - 0{,}1414}\ \text{м} = \frac{0{,}0177}{0{,}0318}\ \text{м} \approx 0{,}56\ \text{м}.$$

Полученное значение правдоподобно: $l \gt b = 0{,}25$ м, то есть точка $C$ действительно лежит между $A$ и $B$.

Ответ: $l \approx 0{,}56\ \text{м} \approx 56\ \text{см}$.