Задание №26 — Сила упругости

Решение:

Обоснование применимости законов. Система покоится в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, поэтому применимы оба условия равновесия абсолютно твёрдого тела: сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю и сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю. Стержень однородный, поле тяжести вблизи поверхности Земли однородно, поэтому его центр тяжести находится в середине стержня, на расстоянии $L/2$ от каждого конца. Пружины лёгкие (невесомые) и расположены вертикально, поэтому силы упругости, с которыми они действуют на стержень, направлены вертикально вверх; деформации пружин упругие, так что справедлив закон Гука $F = kx$. Подвешенный груз считаем материальной точкой; он висит на невесомой нити, поэтому действует на стержень вертикально вниз с силой, равной по модулю $mg$. Стержень расположен горизонтально, значит, все силы вертикальны и правило моментов можно записывать, измеряя плечи вдоль стержня.

Обозначения. $M$ — масса стержня; $L$ — его длина (расстояние между пружинами); $m$ — искомая масса груза; $d$ — расстояние от точки подвеса груза до правой пружины; $k_1$ и $k_2$ — жёсткости левой и правой пружин, причём по условию $k_2 = 3k_1$; $x$ — общее удлинение пружин (по условию они одинаковы); $F_1 = k_1 x$ и $F_2 = k_2 x$ — модули сил упругости левой и правой пружин; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На стержень действуют четыре вертикальные силы: сила упругости левой пружины $\vec F_1$ — вверх, приложена к левому концу стержня; сила упругости правой пружины $\vec F_2$ — вверх, приложена к правому концу; сила тяжести стержня $M\vec g$ — вниз, приложена в середине стержня (на расстоянии $L/2$ от левого конца); сила натяжения нити груза, равная по модулю $mg$, — вниз, приложена в точке на расстоянии $d$ от правого конца, то есть на расстоянии $L-d$ от левого конца.

1. Связь сил упругости. По закону Гука при одинаковых удлинениях $x$

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{k_2 x}{k_1 x} = \frac{k_2}{k_1} = 3\quad\Rightarrow\quad F_2 = 3F_1.$$

2. Первое условие равновесия (сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю):

$$F_1 + F_2 = Mg + mg\quad\Rightarrow\quad 4F_1 = (M+m)g\quad\Rightarrow\quad F_1 = \frac{(M+m)g}{4}.$$

3. Второе условие равновесия. Запишем правило моментов относительно оси, проходящей через точку крепления левой пружины перпендикулярно плоскости рисунка (момент силы $\vec F_1$ при этом равен нулю):

$$F_2 L = Mg\cdot\frac{L}{2} + mg(L-d).$$

4. Решение системы. Подставим $F_2 = 3F_1 = \dfrac{3(M+m)g}{4}$ и сократим на $g$:

$$\frac{3(M+m)L}{4} = \frac{ML}{2} + m(L-d),$$

$$\frac{3ML}{4} + \frac{3mL}{4} = \frac{ML}{2} + mL - md,$$

$$\frac{ML}{4} = \frac{mL}{4} - md = m\left(\frac{L}{4} - d\right),$$

$$m = \frac{ML}{L - 4d}.$$

5. Вычисления. $L = 0{,}40$ м, $d = 0{,}05$ м, $L - 4d = 0{,}40 - 0{,}20 = 0{,}20$ м:

$$m = \frac{2\ \text{кг}\cdot 0{,}40\ \text{м}}{0{,}20\ \text{м}} = 4\ \text{кг}.$$

Проверка: $(M+m)g = 60\ \text{Н}$, значит $F_1 = 15\ \text{Н}$, $F_2 = 45\ \text{Н}$. Моменты относительно левого конца: $F_2 L = 45\cdot 0{,}4 = 18\ \text{Н}\cdot\text{м}$; $Mg\cdot L/2 + mg(L-d) = 20\cdot 0{,}2 + 40\cdot 0{,}35 = 4 + 14 = 18\ \text{Н}\cdot\text{м}$ — равенство выполняется.

Ответ: $m = \dfrac{ML}{L-4d} = 4\ \text{кг}$.