Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Цилиндр покоится в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, и является абсолютно твёрдым телом, поэтому для него справедливы оба условия равновесия твёрдого тела: векторная сумма всех приложенных сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю. Цилиндр однородный, поле тяжести вблизи поверхности Земли однородно, поэтому сила тяжести приложена в центре масс — на оси цилиндра. Нить невесома и нерастяжима и не скользит по цилиндру, поэтому она действует на цилиндр силой, направленной вдоль нити, приложенной в точке схода нити с цилиндра — в верхней точке его сечения, диаметрально противоположной точке касания с плоскостью; по условию нить параллельна наклонной плоскости. Цилиндр не проскальзывает и не катится, значит, в точке касания действует сила трения покоя, для которой выполняется условие $F_{\text{тр}} \le \mu N$; максимальный угол соответствует границе этого условия, $F_{\text{тр}} = \mu N$. Задача плоская: все силы лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.

Обозначения. $m$ — масса цилиндра; $R$ — его радиус; $\alpha$ — угол наклона плоскости к горизонту; $N$ — модуль силы нормальной реакции плоскости; $F_{\text{тр}}$ — модуль силы трения покоя; $T$ — модуль силы натяжения нити; $\mu$ — коэффициент трения; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На цилиндр действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз, приложена в центре цилиндра; сила нормальной реакции $\vec N$ — перпендикулярно наклонной плоскости, от плоскости, приложена в точке касания; сила трения покоя $\vec F_{\text{тр}}$ — вдоль наклонной плоскости, вверх по склону, приложена в точке касания; сила натяжения нити $\vec T$ — вдоль нити, параллельно наклонной плоскости, вверх по склону (к стенке), приложена в верхней точке цилиндра, отстоящей от точки касания на $2R$.

1. Правило моментов относительно оси цилиндра. Силы $m\vec g$ и $\vec N$ не создают момента относительно оси цилиндра: линия действия силы тяжести проходит через ось, а линия действия нормальной реакции — вдоль радиуса, тоже через ось. Плечи сил $\vec T$ и $\vec F_{\text{тр}}$ относительно оси равны $R$, причём они вращают цилиндр в противоположные стороны ($\vec T$ приложена в верхней точке, $\vec F_{\text{тр}}$ — в нижней, а направлены обе вверх по склону):

$$TR = F_{\text{тр}}R\quad\Rightarrow\quad F_{\text{тр}} = T.$$

2. Условие равновесия в проекциях. Ось $x$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, ось $y$ — перпендикулярно ей:

$$x:\quad T + F_{\text{тр}} - mg\sin\alpha = 0,\qquad y:\quad N - mg\cos\alpha = 0.$$

С учётом $F_{\text{тр}} = T$ получаем

$$F_{\text{тр}} = T = \frac{mg\sin\alpha}{2},\qquad N = mg\cos\alpha.$$

3. Условие существования равновесия. Сила трения покоя не может превышать максимального значения:

$$F_{\text{тр}} \le \mu N\quad\Rightarrow\quad \frac{mg\sin\alpha}{2} \le \mu\, mg\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha \le 2\mu.$$

Максимальному углу отвечает знак равенства:

$$\operatorname{tg}\alpha_{\max} = 2\mu = 2\cdot 0{,}5 = 1\quad\Rightarrow\quad \alpha_{\max} = 45^{\circ}.$$

Заметим, что ответ не зависит ни от массы цилиндра, ни от его радиуса: и $m$, и $R$ сокращаются. Полезно сравнить с телом без нити: брусок на такой плоскости соскользнул бы уже при $\operatorname{tg}\alpha \gt \mu$, то есть при $\alpha \gt 26{,}6^{\circ}$; нить, беря на себя половину скатывающей силы, удваивает предельный тангенс.

Ответ: $\alpha_{\max} = \operatorname{arctg}(2\mu) = 45^{\circ}$.