Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Рассматриваем движение в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй (со столом), поэтому применим второй закон Ньютона. Все три тела движутся поступательно и их размеры не важны для описания движения, поэтому каждое из них считаем материальной точкой. Нить невесома и нерастяжима, а блок невесом и гладкий (трения в его оси нет), поэтому модуль силы натяжения одинаков по обе стороны блока, а модули ускорений груза $M$ и подвешенных тел одинаковы и равны $a$. Пружина лёгкая, поэтому силы упругости, действующие на её концы, равны по модулю; деформация пружины мала и упруга, так что справедлив закон Гука. Так как длина пружины при движении не меняется, оба бруска движутся с одним и тем же ускорением $a$, а деформация пружины постоянна и равна $\Delta l = L - l$. Груз скользит по столу, поэтому сила трения — сила трения скольжения, и для неё справедлив закон Амонтона—Кулона $F_{\text{тр}} = \mu N$. Поле тяжести однородно, $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Обозначения. $M$ — масса груза на столе; $m$ — масса каждого бруска; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции стола; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — модуль силы трения скольжения; $F_{\text{упр}}$ — модуль силы упругости пружины; $k$ — искомая жёсткость пружины; $\Delta l = L - l$ — удлинение пружины; $a$ — модуль ускорения тел; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На груз $M$: сила тяжести $M\vec g$ — вертикально вниз; сила нормальной реакции стола $\vec N$ — вертикально вверх; сила натяжения нити $\vec T$ — горизонтально, в сторону блока; сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — горизонтально, против движения груза, то есть от блока. На верхний брусок: сила тяжести $m\vec g$ — вниз; сила натяжения нити $\vec T$ — вертикально вверх; сила упругости пружины $\vec F_{\text{упр}}$ — вертикально вниз (пружина растянута и тянет верхний брусок вниз). На нижний брусок: сила тяжести $m\vec g$ — вниз; сила упругости пружины $\vec F_{\text{упр}}$ — вертикально вверх.

1. Ускорение системы. Для груза $M$ второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси даёт

$$N = Mg,\qquad T - \mu N = Ma\quad\Rightarrow\quad T - \mu Mg = Ma.$$

Для системы из двух брусков (общая масса $2m$), движущейся вниз с ускорением $a$ (внутренние силы упругости пружины взаимно уравновешиваются):

$$2mg - T = 2ma.$$

Складывая уравнения, исключаем $T$:

$$2mg - \mu Mg = (M + 2m)a\quad\Rightarrow\quad a = \frac{g(2m - \mu M)}{M + 2m}.$$

$$a = \frac{10\ \text{м/с}^2\cdot(2\cdot 0{,}4 - 0{,}2\cdot 0{,}8)\ \text{кг}}{(0{,}8 + 0{,}8)\ \text{кг}} = \frac{10\cdot 0{,}64}{1{,}6}\ \text{м/с}^2 = 4\ \text{м/с}^2.$$

Так как $2mg = 8\ \text{Н} \gt \mu Mg = 1{,}6\ \text{Н}$, система действительно приходит в движение.

2. Уравнение движения нижнего бруска. На него действуют только сила тяжести и сила упругости пружины, ускорение направлено вниз:

$$mg - F_{\text{упр}} = ma\quad\Rightarrow\quad F_{\text{упр}} = m(g - a) = 0{,}4\ \text{кг}\cdot(10 - 4)\ \text{м/с}^2 = 2{,}4\ \text{Н}.$$

3. Закон Гука.

$$F_{\text{упр}} = k(L - l)\quad\Rightarrow\quad k = \frac{F_{\text{упр}}}{L - l} = \frac{m(g-a)}{L-l}.$$

$$k = \frac{2{,}4\ \text{Н}}{0{,}14\ \text{м} - 0{,}10\ \text{м}} = \frac{2{,}4}{0{,}04}\ \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 60\ \text{Н/м}.$$

Проверка: из уравнения верхнего бруска $mg + F_{\text{упр}} - T = ma$ получаем $T = 4 + 2{,}4 - 1{,}6 = 4{,}8\ \text{Н}$, и тогда для груза $M$: $T - \mu Mg = 4{,}8 - 1{,}6 = 3{,}2\ \text{Н} = Ma = 0{,}8\cdot 4\ \text{Н}$ — сходится.

Ответ: $k = 60\ \text{Н/м}$.