Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй; поле тяжести вблизи поверхности Земли однородно, $g = 10\ \text{м/с}^2$. Брусок и пулю считаем материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с пройденными расстояниями. Наклонная плоскость гладкая, поэтому на участках движения до удара и после удара на тела действуют только сила тяжести (потенциальная сила) и сила нормальной реакции, работа которой равна нулю (она перпендикулярна перемещению); следовательно, на этих участках выполняется закон сохранения механической энергии. Удар пули о брусок — абсолютно неупругий (пуля застревает в бруске), поэтому механическая энергия при ударе не сохраняется и применять к самому удару закон сохранения энергии нельзя. Однако удар длится очень малое время: за это время смещения тел пренебрежимо малы, а импульсы внешних сил (силы тяжести и силы нормальной реакции) вдоль наклонной плоскости пренебрежимо малы по сравнению с импульсом силы взаимодействия пули и бруска. Поэтому проекция импульса системы «пуля + брусок» на направление вдоль наклонной плоскости при ударе сохраняется.

Обозначения. $M$ — масса бруска; $m$ — масса пули; $v$ — искомый модуль скорости пули перед ударом; $u$ — модуль скорости бруска непосредственно перед ударом; $V$ — модуль скорости бруска с застрявшей пулей сразу после удара; $x$ — путь бруска до удара; $S$ — путь системы вверх после удара; $\alpha$ — угол наклона плоскости; $g$ — ускорение свободного падения. Ось направим вдоль наклонной плоскости вверх.

1. Скорость бруска перед ударом. Брусок скользит из состояния покоя вниз по гладкой наклонной плоскости; по закону сохранения механической энергии

$$Mgx\sin\alpha = \frac{Mu^2}{2}\quad\Rightarrow\quad u = \sqrt{2gx\sin\alpha} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 3{,}6\cdot 0{,}5}\ \text{м/с} = 6\ \text{м/с},$$

скорость $\vec u$ направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

2. Скорость системы сразу после удара. После удара тело массой $M+m$ поднимается вдоль гладкой наклонной плоскости на расстояние $S$ и останавливается, поэтому

$$\frac{(M+m)V^2}{2} = (M+m)gS\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{2gS\sin\alpha} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 2{,}5\cdot 0{,}5}\ \text{м/с} = 5\ \text{м/с}.$$

Отметим, что результат не зависит от массы системы: наклонная плоскость гладкая.

3. Закон сохранения импульса при ударе. Пуля летит вверх вдоль наклонной плоскости (навстречу бруску), брусок движется вниз, после удара система движется вверх. В проекции на выбранную ось:

$$mv - Mu = (M+m)V.$$

4. Решение.

$$v = \frac{(M+m)V + Mu}{m}.$$

$$v = \frac{(0{,}250 + 0{,}005)\ \text{кг}\cdot 5\ \text{м/с} + 0{,}250\ \text{кг}\cdot 6\ \text{м/с}}{0{,}005\ \text{кг}} = \frac{1{,}275 + 1{,}500}{0{,}005}\ \text{м/с} = \frac{2{,}775}{0{,}005}\ \text{м/с} = 555\ \text{м/с}.$$

Полученное значение правдоподобно: это обычный порядок начальной скорости пули стрелкового оружия.

Ответ: $v = 555\ \text{м/с}$.