Задание №26 — Сила упругости

Решение:

Обоснование применимости законов. Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Стержень покоится, значит он находится в равновесии, и к нему применимы оба условия равновесия твёрдого тела: равенство нулю векторной суммы всех приложенных сил и равенство нулю суммы моментов этих сил относительно любой оси. Пружины считаем лёгкими и подчиняющимися закону Гука $F_{\text{упр}}=kx$ — деформации малы и упруги. Стержень однородный, поэтому его центр тяжести находится посередине, на расстоянии $L/2$ от каждого конца. Нить, на которой висит груз, невесома и нерастяжима, поэтому она передаёт стержню силу, равную по модулю весу груза $mg$ и направленную вертикально вниз. Груз считаем материальной точкой, подвешенной в одной точке стержня. Поле тяжести вблизи Земли однородно, $g=10\ \text{м/с}^{2}$.

Обозначения. $M$ — искомая масса стержня; $m=3\ \text{кг}$ — масса груза; $L=40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м}$ — длина стержня (пружины прикреплены к его концам); $d=5\ \text{см}=0{,}05\ \text{м}$ — расстояние от точки подвеса груза до правой пружины; $k_{1}$ — жёсткость левой пружины, $k_{2}=3k_{1}$ — жёсткость правой пружины (жёсткость левой в 3 раза меньше); $x$ — одинаковое по условию удлинение каждой пружины; $F_{1}=k_{1}x$ и $F_{2}=k_{2}x$ — модули сил упругости левой и правой пружин.

Рисунок с указанием сил. Стержень изображаем горизонтальным отрезком. К его левому концу приложена вертикально вверх сила упругости левой пружины $\vec{F}_{1}$; к правому концу — вертикально вверх сила упругости правой пружины $\vec{F}_{2}$ (она длиннее стрелки $\vec{F}_{1}$, так как $F_{2}=3F_{1}$); к середине стержня приложена вертикально вниз сила тяжести стержня $M\vec{g}$; в точке, отстоящей на $d$ от правого конца (то есть на $L-d$ от левого), приложена вертикально вниз сила натяжения нити с грузом, равная по модулю $mg$. Все четыре силы вертикальны и лежат в плоскости рисунка.

Условия равновесия. Направим ось $OY$ вертикально вверх. Первое условие равновесия (сумма проекций сил равна нулю):

$$F_{1}+F_{2}-Mg-mg=0.$$

Так как удлинения пружин одинаковы, $F_{1}=k_{1}x$, $F_{2}=3k_{1}x=3F_{1}$, поэтому

$$4F_{1}=(M+m)g \quad \Rightarrow \quad F_{1}=\frac{(M+m)g}{4},\qquad F_{2}=\frac{3(M+m)g}{4}.$$

Второе условие равновесия — сумма моментов сил относительно горизонтальной оси, проходящей через левый конец стержня перпендикулярно плоскости рисунка (момент силы $\vec{F}_{1}$ относительно этой оси равен нулю):

$$F_{2}L = Mg\cdot\frac{L}{2} + mg\,(L-d).$$

Математические преобразования. Подставим $F_{2}=\dfrac{3(M+m)g}{4}$ и сократим на $g$:

$$\frac{3(M+m)L}{4} = \frac{ML}{2} + m\,(L-d),$$

$$\frac{3ML}{4}-\frac{ML}{2} = mL - md - \frac{3mL}{4}, \qquad \frac{ML}{4} = \frac{mL}{4} - md,$$

$$M = \frac{m\,(L-4d)}{L}.$$

Расчёт.

$$M = \frac{3\cdot(0{,}4 - 4\cdot 0{,}05)}{0{,}4} = \frac{3\cdot 0{,}2}{0{,}4} = 1{,}5\ \text{кг}.$$

Проверка. При $M=1{,}5\ \text{кг}$ общий вес равен $(1{,}5+3)\cdot 10 = 45\ \text{Н}$, тогда $F_{1}=11{,}25\ \text{Н}$, $F_{2}=33{,}75\ \text{Н}$. Момент относительно левого конца: $F_{2}L=33{,}75\cdot 0{,}4=13{,}5\ \text{Н}\cdot\text{м}$; с другой стороны $Mg\cdot 0{,}2 + mg\cdot 0{,}35 = 15\cdot 0{,}2 + 30\cdot 0{,}35 = 3 + 10{,}5 = 13{,}5\ \text{Н}\cdot\text{м}$ — равенство выполняется.

Ответ: $M = \dfrac{m(L-4d)}{L} = 1{,}5\ \text{кг}$.