Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Шарики считаем материальными точками, нити — невесомыми и нерастяжимыми, сопротивление воздуха отсутствует.

1) Расталкивание. Пружина лёгкая, поэтому её импульсом и её кинетической энергией пренебрегаем, а распрямляется она за очень малое время $\tau$. Так как величина сжатия пружины много меньше длин нитей, в момент расталкивания шарики находятся практически в нижних точках своих траекторий, нити вертикальны, и силы натяжения нитей вертикальны — горизонтальных составляющих не имеют. Сила тяжести тоже вертикальна. Значит, горизонтальная проекция импульса системы двух шариков при расталкивании сохраняется; до пережигания нити система покоилась, поэтому суммарный горизонтальный импульс равен нулю. Скорости шариков сразу после расталкивания горизонтальны и противоположно направлены.

2) Отклонение нитей. После разлёта каждый шарик движется как математический маятник. Сила натяжения нити перпендикулярна скорости и работы не совершает, сопротивление воздуха отсутствует, поэтому механическая энергия каждого шарика в отдельности сохраняется. В крайнем (наивысшем) положении скорость шарика равна нулю, и вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную.

Обозначения. $m_{1}$ и $m_{2}$ — массы шариков, $\dfrac{m_{2}}{m_{1}}=1{,}5$; $L_{1}$ и $L_{2}$ — длины нитей, на которых висят шарики $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно; $v_{1}$ и $v_{2}$ — модули скоростей шариков сразу после расталкивания; $\alpha$ — одинаковый угол отклонения нитей от вертикали; $h_{1}$ и $h_{2}$ — высоты подъёма шариков.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось: суммарный импульс до расталкивания равен нулю, шарики разлетаются в противоположные стороны, поэтому

$$0 = m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} \quad \Rightarrow \quad m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}.$$

Геометрия подъёма. При отклонении нити длиной $L$ на угол $\alpha$ шарик поднимается на высоту

$$h = L - L\cos\alpha = L\,(1-\cos\alpha).$$

Закон сохранения механической энергии для каждого шарика (нулевой уровень — нижнее положение шарика):

$$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} = m_{1}g L_{1}(1-\cos\alpha), \qquad \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} = m_{2}g L_{2}(1-\cos\alpha).$$

Массы сокращаются, поэтому

$$v_{1}^{2} = 2gL_{1}(1-\cos\alpha), \qquad v_{2}^{2} = 2gL_{2}(1-\cos\alpha).$$

Математические преобразования. Разделив одно равенство на другое (углы отклонения одинаковы, множитель $2g(1-\cos\alpha)$ сокращается), получаем

$$\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2}.$$

Расчёт.

$$\frac{L_{1}}{L_{2}} = 1{,}5^{2} = 2{,}25.$$

Результат физически разумен: более лёгкий шарик $m_{1}$ получает бо́льшую скорость, и чтобы отклониться на тот же угол, ему нужна более длинная нить.

Ответ: $\dfrac{L_{1}}{L_{2}} = \left(\dfrac{m_{2}}{m_{1}}\right)^{2} = 2{,}25$ — нить с шариком $m_{1}$ длиннее нити с шариком $m_{2}$ в $2{,}25$ раза.