Задание №26 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обоснование применимости законов. Задачу решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Разрыв снаряда длится очень малое время $\tau$, а внешние силы (сила тяжести и сила сопротивления воздуха) конечны, поэтому их суммарный импульс $\vec{F}_{\text{внеш}}\tau$ за время разрыва пренебрежимо мал по сравнению с импульсами, которыми обмениваются части снаряда под действием внутренних сил взрыва. Поэтому в момент разрыва систему «снаряд — осколки» считаем замкнутой и применяем закон сохранения импульса. Снаряд и осколки считаем материальными точками; их скорости много меньше скорости света, поэтому кинетическая энергия вычисляется по классической формуле $E=\dfrac{mv^{2}}{2}$. Все скорости лежат на одной прямой — линии первоначального движения снаряда, поэтому векторное уравнение сохранения импульса сводится к скалярному уравнению проекций на ось $OX$. Механическая энергия при взрыве не сохраняется: энергия взрывчатого вещества переходит в кинетическую энергию осколков, увеличивая её на заданную величину $\Delta E$; это и записываем в виде энергетического баланса.

Обозначения. $M$ — искомая масса снаряда; $m_{1}=m_{2}=\dfrac{M}{2}$ — массы равных осколков; $v$ — модуль скорости снаряда непосредственно перед разрывом; $v_{1}=900\ \text{м/с}$ — модуль скорости осколка, летящего в направлении движения снаряда; $v_{2}=100\ \text{м/с}$ — модуль скорости второго осколка; $\Delta E = 600\ \text{кДж} = 6\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$ — прирост кинетической энергии осколков. Ось $OX$ направлена по движению снаряда.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $OX$:

$$M v = m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} = \frac{M}{2}\,(v_{1}-v_{2}) \quad \Rightarrow \quad v = \frac{v_{1}-v_{2}}{2} = \frac{900-100}{2} = 400\ \text{м/с}.$$

Заметим, что скорость снаряда до разрыва не зависит от его массы, поскольку осколки одинаковы.

Энергетический баланс. Прирост кинетической энергии равен

$$\Delta E = \left(\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\right) - \frac{Mv^{2}}{2} = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M v^{2}}{2}.$$

Подставим $v=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2}$:

$$\Delta E = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M(v_{1}-v_{2})^{2}}{8} = \frac{M\left(2v_{1}^{2}+2v_{2}^{2}-v_{1}^{2}+2v_{1}v_{2}-v_{2}^{2}\right)}{8} = \frac{M\,(v_{1}+v_{2})^{2}}{8}.$$

Отсюда искомая масса снаряда

$$M = \frac{8\,\Delta E}{(v_{1}+v_{2})^{2}}.$$

Расчёт.

$$M = \frac{8\cdot 6\cdot 10^{5}}{(900+100)^{2}} = \frac{4{,}8\cdot 10^{6}}{10^{6}} = 4{,}8\ \text{кг}.$$

Проверка. При $M=4{,}8\ \text{кг}$ масса каждого осколка $2{,}4\ \text{кг}$. Тогда энергия до разрыва $E_{0}=\dfrac{4{,}8\cdot 400^{2}}{2}=3{,}84\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$, энергия после разрыва $E=\dfrac{2{,}4\cdot 900^{2}}{2}+\dfrac{2{,}4\cdot 100^{2}}{2}=9{,}72\cdot 10^{5}+0{,}12\cdot 10^{5}=9{,}84\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$, их разность $E-E_{0}=6\cdot 10^{5}\ \text{Дж}=600\ \text{кДж}$ — совпадает с условием.

Ответ: $M = 4{,}8\ \text{кг}$.