Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с наклонной плоскостью (с землёй). Цилиндр покоится, следовательно он находится в равновесии как абсолютно твёрдое тело, и к нему применимы оба условия равновесия: векторная сумма всех приложенных сил равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю. Нить невесома и нерастяжима, поэтому её натяжение одинаково по всей длине и направлено вдоль нити — параллельно наклонной плоскости; так как нить не скользит по цилиндру и перпендикулярна его оси, она сходит с цилиндра в точке, диаметрально противоположной точке касания цилиндра с плоскостью, то есть линия действия силы натяжения отстоит от точки касания на $2R$. Сила тяжести приложена к центру масс цилиндра — его оси (цилиндр однороден). Так как цилиндр покоится (проскальзывания нет), сила трения покоя удовлетворяет условию $F_{\text{тр}}\le \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения, $N$ — модуль силы нормальной реакции; минимальному коэффициенту трения отвечает равенство $F_{\text{тр}}=\mu_{\min} N$. Поле тяжести однородно.

Обозначения. $m=2\ \text{кг}$ — масса цилиндра; $R=6\ \text{см}$ — его радиус; $\alpha=30^{\circ}$ — угол наклона плоскости к горизонту; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции плоскости; $F_{\text{тр}}$ — модуль силы трения покоя; $\mu$ — коэффициент трения между цилиндром и плоскостью.

Рисунок с указанием сил. На цилиндр действуют четыре силы. К оси цилиндра (его центру) приложена сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз. В точке касания цилиндра с наклонной плоскостью приложены сила нормальной реакции $\vec{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости и направленная от неё, и сила трения покоя $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх (вдоль склона к стенке). В верхней точке цилиндра, диаметрально противоположной точке касания, приложена сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити — параллельно наклонной плоскости вверх по склону.

Уравнение моментов. Запишем сумму моментов относительно оси, проходящей через точку касания цилиндра с плоскостью параллельно оси цилиндра (моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{\text{тр}}$ относительно неё равны нулю, так как эти силы приложены в самой точке касания). Плечо силы натяжения относительно этой оси равно $2R$, плечо силы тяжести равно $R\sin\alpha$ (составляющая $mg\sin\alpha$, параллельная плоскости, приложена к центру, отстоящему от точки касания на $R$; составляющая $mg\cos\alpha$ проходит через точку касания и момента не создаёт):

$$T\cdot 2R = mg\sin\alpha\cdot R \quad \Rightarrow \quad T = \frac{mg\sin\alpha}{2}.$$

Условие равновесия сил. Ось $OX$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, ось $OY$ — перпендикулярно плоскости от неё. Тогда

$$OX:\quad T + F_{\text{тр}} - mg\sin\alpha = 0, \qquad OY:\quad N - mg\cos\alpha = 0.$$

Отсюда

$$F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha - T = mg\sin\alpha - \frac{mg\sin\alpha}{2} = \frac{mg\sin\alpha}{2}, \qquad N = mg\cos\alpha.$$

Условие отсутствия проскальзывания.

$$F_{\text{тр}} \le \mu N \quad \Rightarrow \quad \frac{mg\sin\alpha}{2} \le \mu\, mg\cos\alpha \quad \Rightarrow \quad \mu \ge \frac{\operatorname{tg}\alpha}{2}.$$

Минимальный коэффициент трения

$$\mu_{\min} = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{2}.$$

Отметим, что ответ не зависит ни от массы, ни от радиуса цилиндра — эти данные в задаче избыточны.

Расчёт.

$$\mu_{\min} = \frac{\operatorname{tg}30^{\circ}}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0{,}29.$$

Ответ: $\mu_{\min} = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \approx 0{,}29$.