Задание №26 — Условия равновесия тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Система покоится в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, поэтому к ней применимы условия равновесия. Груз $M$ считаем материальной точкой, для него достаточно условия равенства нулю векторной суммы приложенных сил. Стержень $AB$ — абсолютно твёрдое тело, закреплённое на неподвижном шарнире, поэтому для него записываем правило моментов относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка: трения в шарнире нет, а линия действия силы реакции шарнира проходит через точку $A$, поэтому момент этой (неизвестной) силы относительно выбранной оси равен нулю. Грузики малые, поэтому их считаем материальными точками, а силы тяжести — приложенными в точках $C$ и $B$; стержень невесом, собственной силы тяжести у него нет. Нить невесома и нерастяжима, блок идеален (невесом, трение в его оси отсутствует), поэтому модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити. Поле тяжести вблизи поверхности Земли считаем однородным.

Обозначения. $m_1$ и $m_2$ — массы грузиков в точках $C$ и $B$; $M$ — масса подвешенного груза; $l = AB$ — искомая длина стержня; $b = AC$; $\alpha$ — угол отклонения стержня от вертикали; $\beta$ — угол нити с вертикалью; $T$ — модуль силы натяжения нити; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На груз $M$ действуют две силы: сила тяжести $M\vec g$ — вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec T$ — вертикально вверх. На стержень действуют: сила тяжести грузика $m_1\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $C$; сила тяжести грузика $m_2\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $B$; сила натяжения нити $\vec T$ — приложена в точке $B$ и направлена вдоль нити от $B$ к блоку, то есть вверх и вправо под углом $\beta$ к вертикали; сила реакции шарнира — приложена в точке $A$.

1. Условие равновесия груза $M$:

$$T = Mg.$$

2. Правило моментов для стержня относительно оси $A$. Точка $B$ смещена относительно $A$ по горизонтали на $l\sin\alpha$ и по вертикали вниз на $l\cos\alpha$; точка $C$ смещена по горизонтали на $b\sin\alpha$.

Силы тяжести грузиков вертикальны, поэтому их плечи относительно точки $A$ равны горизонтальным смещениям точек приложения: моменты равны $m_1 g\, b\sin\alpha$ и $m_2 g\, l\sin\alpha$; оба вращают стержень в сторону увеличения угла $\alpha$.

Силу натяжения $\vec T$ разложим на вертикальную составляющую $T\cos\beta$ (вверх) и горизонтальную $T\sin\beta$ (в сторону блока). Плечо вертикальной составляющей относительно $A$ равно $l\sin\alpha$, плечо горизонтальной — $l\cos\alpha$; обе составляющие вращают стержень в противоположную сторону, поэтому суммарный момент силы натяжения равен

$$T\cos\beta\cdot l\sin\alpha + T\sin\beta\cdot l\cos\alpha = T l\sin(\alpha+\beta).$$

Условие равновесия стержня:

$$T l\sin(\alpha+\beta) = m_1 g\, b\sin\alpha + m_2 g\, l\sin\alpha.$$

3. Решение системы. Подставим $T = Mg$ и сократим на $g$:

$$M l\sin(\alpha+\beta) = m_1 b\sin\alpha + m_2 l\sin\alpha,$$

$$l = \frac{m_1 b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta) - m_2\sin\alpha}.$$

4. Вычисления. $\alpha = \beta = 30^{\circ}$, значит $\alpha+\beta = 60^{\circ}$, $\sin 30^{\circ} = 0{,}5$, $\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$:

$$l = \frac{0{,}2\ \text{кг}\cdot 0{,}25\ \text{м}\cdot 0{,}5}{0{,}1\ \text{кг}\cdot 0{,}866 - 0{,}1\ \text{кг}\cdot 0{,}5} = \frac{0{,}025}{0{,}0866 - 0{,}05}\ \text{м} = \frac{0{,}025}{0{,}0366}\ \text{м} \approx 0{,}68\ \text{м}.$$

В точном виде

$$l = \frac{0{,}025}{0{,}05\left(\sqrt{3}-1\right)}\ \text{м} = \frac{0{,}5}{\sqrt{3}-1}\ \text{м} = \frac{0{,}5\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\ \text{м} = 0{,}25\left(\sqrt{3}+1\right)\ \text{м} \approx 0{,}683\ \text{м}.$$

Значение правдоподобно: $l \gt b = 0{,}25$ м, то есть точка $C$ действительно лежит между $A$ и $B$.

Ответ: $l = 0{,}25\left(\sqrt{3}+1\right)\ \text{м} \approx 0{,}68\ \text{м} = 68\ \text{см}$.