Задание №26 — Закон сохранения механической энергии

Решение:

Обоснование применимости законов. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй; поле тяжести вблизи поверхности Земли однородно, $g = 10\ \text{м/с}^2$. Брусок и пулю считаем материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с пройденными расстояниями. Наклонная плоскость гладкая, поэтому на участках движения до удара и после удара на тела действуют только сила тяжести (потенциальная сила) и сила нормальной реакции, работа которой равна нулю (она перпендикулярна перемещению); следовательно, на этих участках выполняется закон сохранения механической энергии. Удар пули о брусок — абсолютно неупругий (пуля застревает в бруске), при таком ударе механическая энергия не сохраняется (часть её переходит во внутреннюю), поэтому применять к самому удару закон сохранения энергии нельзя. Зато удар происходит за очень малое время: за это время смещения тел пренебрежимо малы, а импульсы внешних сил (силы тяжести и силы нормальной реакции) вдоль наклонной плоскости пренебрежимо малы по сравнению с импульсом огромной силы взаимодействия пули и бруска. Поэтому проекция импульса системы «пуля + брусок» на направление вдоль наклонной плоскости при ударе сохраняется.

Обозначения. $M$ — масса бруска; $m$ — масса пули; $v$ — модуль скорости пули перед ударом; $u$ — модуль скорости бруска непосредственно перед ударом; $V$ — модуль скорости бруска с застрявшей пулей сразу после удара; $x$ — путь бруска до удара; $S$ — путь системы вверх после удара; $\alpha$ — угол наклона плоскости; $g$ — ускорение свободного падения. Ось направим вдоль наклонной плоскости вверх.

1. Скорость бруска перед ударом. Брусок скользит из состояния покоя вниз по гладкой наклонной плоскости. По закону сохранения механической энергии на пути $x$ убыль потенциальной энергии равна приросту кинетической:

$$Mgx\sin\alpha = \frac{Mu^2}{2}\quad\Rightarrow\quad u = \sqrt{2gx\sin\alpha}.$$

$$u = \sqrt{2\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot 3{,}6\ \text{м}\cdot 0{,}5} = \sqrt{36}\ \text{м/с} = 6\ \text{м/с}.$$

Скорость $\vec u$ направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

2. Скорость системы сразу после удара. После удара тело массой $M+m$ поднимается вдоль гладкой наклонной плоскости на расстояние $S$ и там останавливается. Снова по закону сохранения механической энергии:

$$\frac{(M+m)V^2}{2} = (M+m)gS\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{2gS\sin\alpha},$$

$$V = \sqrt{2\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot 2{,}5\ \text{м}\cdot 0{,}5} = \sqrt{25}\ \text{м/с} = 5\ \text{м/с}.$$

3. Закон сохранения импульса при ударе. Пуля летит вверх вдоль наклонной плоскости (навстречу бруску), брусок движется вниз, после удара система движется вверх. В проекции на выбранную ось:

$$mv - Mu = (M+m)V.$$

4. Решение. Выразим массу пули:

$$m(v - V) = M(u + V)\quad\Rightarrow\quad m = \frac{M(u+V)}{v-V}.$$

$$m = \frac{0{,}25\ \text{кг}\cdot(6 + 5)\ \text{м/с}}{(555 - 5)\ \text{м/с}} = \frac{2{,}75}{550}\ \text{кг} = 0{,}005\ \text{кг} = 5\ \text{г}.$$

Проверка правдоподобия: масса пули оказалась в $50$ раз меньше массы бруска, а её скорость почти в $100$ раз больше скорости бруска — импульс пули больше импульса бруска, поэтому система и в самом деле поехала вверх, как сказано в условии.

Ответ: $m = 0{,}005\ \text{кг} = 5\ \text{г}$.