Задание №26 — Вес тела

Решение:

Обоснование применимости законов. Система покоится в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, поэтому к ней применимы условия равновесия. Груз $M$ считаем материальной точкой, для него достаточно условия равенства нулю векторной суммы приложенных сил. Стержень $AB$ — абсолютно твёрдое тело, закреплённое на неподвижном шарнире, поэтому для него записываем правило моментов относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка. Такой выбор оси удобен потому, что трения в шарнире нет, а линия действия силы реакции шарнира проходит через точку $A$, так что момент этой (неизвестной) силы относительно выбранной оси равен нулю. Грузики малые, поэтому их считаем материальными точками, а силы тяжести — приложенными в точках $C$ и $B$; стержень невесом, собственной силы тяжести у него нет. Нить невесома и нерастяжима, блок идеален (невесом, трение в его оси отсутствует), поэтому модуль силы натяжения одинаков во всех точках нити. Поле тяжести вблизи поверхности Земли считаем однородным, $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Обозначения. $m_1$ и $m_2$ — массы грузиков в точках $C$ и $B$; $M$ — масса подвешенного груза; $l = AB$ — длина стержня; $b = AC$; $\alpha$ — угол отклонения стержня от вертикали; $\beta$ — угол нити с вертикалью; $T$ — модуль силы натяжения нити; $g$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы). На груз $M$ действуют две силы: сила тяжести $M\vec g$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec T$, направленная вертикально вверх (нить от груза идёт вертикально вверх к блоку). На стержень действуют: сила тяжести грузика $m_1\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $C$; сила тяжести грузика $m_2\vec g$ — вертикально вниз, приложена в точке $B$; сила натяжения нити $\vec T$ — приложена в точке $B$ и направлена вдоль нити от $B$ к блоку, то есть вверх и вправо под углом $\beta$ к вертикали; сила реакции шарнира — приложена в точке $A$.

1. Условие равновесия груза $M$. На него действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, поэтому

$$T = Mg.$$

2. Правило моментов для стержня относительно оси $A$. Точка $B$ смещена относительно $A$ по горизонтали на $l\sin\alpha$ и по вертикали вниз на $l\cos\alpha$; точка $C$ смещена по горизонтали на $b\sin\alpha$ и по вертикали на $b\cos\alpha$.

Силы тяжести грузиков вертикальны, поэтому их плечи относительно точки $A$ равны горизонтальным смещениям точек приложения: моменты равны $m_1 g\, b\sin\alpha$ и $m_2 g\, l\sin\alpha$. Оба момента вращают стержень в одну и ту же сторону — в сторону увеличения угла $\alpha$.

Силу натяжения $\vec T$ разложим на вертикальную составляющую $T\cos\beta$ (направлена вверх) и горизонтальную $T\sin\beta$ (направлена в сторону блока). Плечо вертикальной составляющей относительно $A$ равно $l\sin\alpha$, плечо горизонтальной — $l\cos\alpha$. Обе составляющие вращают стержень в сторону, противоположную моментам сил тяжести, поэтому суммарный момент силы натяжения равен

$$T\cos\beta\cdot l\sin\alpha + T\sin\beta\cdot l\cos\alpha = T l\left(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\right) = T l\sin(\alpha+\beta).$$

Условие равновесия стержня (сумма моментов относительно оси $A$ равна нулю):

$$T l\sin(\alpha+\beta) = m_1 g\, b\sin\alpha + m_2 g\, l\sin\alpha.$$

3. Решение системы. Подставляя $T = Mg$ и сокращая на $g$, получаем

$$M l\sin(\alpha+\beta) = m_1 b\sin\alpha + m_2 l\sin\alpha,$$

$$m_1 = \frac{l\left(M\sin(\alpha+\beta) - m_2\sin\alpha\right)}{b\sin\alpha} = \frac{l}{b}\left(M\,\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} - m_2\right).$$

4. Вычисления. $\alpha+\beta = 45^{\circ}+15^{\circ} = 60^{\circ}$, поэтому

$$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}22.$$

$$m_1 = \frac{0{,}40\ \text{м}}{0{,}25\ \text{м}}\left(0{,}250\ \text{кг}\cdot 1{,}22 - 0{,}200\ \text{кг}\right) = 1{,}6\cdot\left(0{,}306 - 0{,}200\right)\ \text{кг} \approx 0{,}17\ \text{кг}.$$

Ответ: $m_1 \approx 0{,}17\ \text{кг} = 170\ \text{г}$.