Задание №26 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обоснование применимости законов. Систему отсчёта, связанную со столом (Землёй), считаем инерциальной, поэтому применим второй закон Ньютона. Все три тела движутся поступательно, их размеры на решение не влияют, поэтому каждое тело рассматриваем как материальную точку. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом и гладкий, поэтому сила натяжения одинакова во всех точках нити, а модули ускорений груза и верхнего бруска равны. По условию длина пружины при движении постоянна, значит расстояние между брусками не меняется и оба бруска движутся с одним и тем же ускорением $a$; тогда и модули ускорений всех трёх тел равны. Пружина лёгкая (невесомая), поэтому силы упругости, действующие с её концов на верхний и нижний бруски, равны по модулю; деформация пружины упругая, поэтому справедлив закон Гука $F_{\text{упр}} = k\,\Delta l$. Груз скользит по горизонтальному столу, нить горизонтальна, поэтому сила нормальной реакции стола равна $N = Mg$, а сила трения — сила трения скольжения, для которой $F_{\text{тр}} = \mu N$ (закон Амонтона — Кулона).

Обозначения. $M = 800$ г $= 0{,}8$ кг — масса груза на столе; $m = 400$ г $= 0{,}4$ кг — масса каждого из брусков; $k = 80$ Н/м — жёсткость пружины; $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — длина нерастянутой пружины; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения груза о стол; $T$ — модуль силы натяжения нити; $N$ — модуль силы нормальной реакции стола; $F_{\text{упр}}$ — модуль силы упругости пружины; $\Delta l$ — удлинение пружины при движении; $L$ — искомая длина пружины; $a$ — модуль ускорения тел; $g = 10$ м/с².

Рисунок (силы). На груз $M$ действуют: сила тяжести $M\vec{g}$ — вертикально вниз; сила нормальной реакции стола $\vec{N}$ — вертикально вверх; сила натяжения нити $\vec{T}$ — горизонтально, к блоку (в сторону движения); сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — горизонтально, против движения груза. На верхний брусок действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ — вниз; сила натяжения нити $\vec{T}$ — вверх; сила упругости растянутой пружины $\vec{F}_{\text{упр}}$ — вниз (пружина растянута и тянет верхний брусок к нижнему). На нижний брусок действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ — вниз и сила упругости пружины $\vec{F}_{\text{упр}}$ — вверх.

Направим для каждого тела ось в сторону его движения (для груза — горизонтально к блоку, для брусков — вертикально вниз). Второй закон Ньютона:

груз: $\ T - \mu Mg = Ma;$

верхний брусок: $\ mg + F_{\text{упр}} - T = ma;$

нижний брусок: $\ mg - F_{\text{упр}} = ma.$

Сложив все три уравнения ($T$ и $F_{\text{упр}}$ взаимно уничтожаются), получаем уравнение движения системы:

$$2mg - \mu Mg = (M + 2m)\,a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{(2m - \mu M)\,g}{M + 2m}.$$

Численный расчёт:

$$a = \frac{(2\cdot 0{,}4 - 0{,}2\cdot 0{,}8)\cdot 10}{0{,}8 + 0{,}8} = \frac{8 - 1{,}6}{1{,}6} = 4\ \text{м/с}^{2}.$$

Из уравнения для нижнего бруска находим силу упругости:

$$F_{\text{упр}} = m\,(g - a) = 0{,}4\cdot(10 - 4) = 2{,}4\ \text{Н}.$$

По закону Гука $F_{\text{упр}} = k\,\Delta l$, поэтому удлинение пружины

$$\Delta l = \frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{2{,}4}{80} = 0{,}03\ \text{м} = 3\ \text{см},$$

а её длина при движении

$$L = l + \Delta l = 0{,}10 + 0{,}03 = 0{,}13\ \text{м} = 13\ \text{см}.$$

Проверка: $T = M(a + \mu g) = 0{,}8\,(4 + 2) = 4{,}8$ Н; для верхнего бруска $mg + F_{\text{упр}} - T = 4 + 2{,}4 - 4{,}8 = 1{,}6$ Н $= ma = 0{,}4\cdot 4 = 1{,}6$ Н — уравнения согласованы. Так как $a \lt g$, пружина остаётся растянутой, что согласуется с рисунком.

Ответ: $L = l + \dfrac{m(g-a)}{k} = 0{,}13$ м $= 13$ см.