Задание №22 — Давление твёрдого тела. Сила давления

Решение:

Обозначения. $h=0{,}02\ \text{м}$ — высота выступающей над водой части льдины; $S=2500\ \text{см}^2=0{,}25\ \text{м}^2$ — площадь льдины (льдина плоская, её боковые грани вертикальны, поэтому площадь горизонтального сечения одинакова на любой высоте); $H$ — полная толщина льдины; $\rho_{\text{л}}=900\ \text{кг/м}^3$ — плотность льда; $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$ — плотность воды; $m$ — масса льдины; $V=SH$ — её объём; $V_{\text{погр}}=S(H-h)$ — объём погружённой части; $g$ — ускорение свободного падения.

Льдина плавает, то есть покоится относительно воды. На неё действуют две силы: сила тяжести $m\vec g$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила Архимеда $\vec F_A$, направленная вертикально вверх. По первому закону Ньютона (условие равновесия) их сумма равна нулю, в проекции на вертикальную ось:

$$F_A=mg.$$

По закону Архимеда выталкивающая сила равна весу вытесненной воды:

$$F_A=\rho_{\text{в}}\,g\,V_{\text{погр}}=\rho_{\text{в}}\,g\,S\,(H-h).$$

Масса льдины выражается через её плотность и объём: $m=\rho_{\text{л}}V=\rho_{\text{л}}SH$.

Подставим оба выражения в условие плавания и сократим на $gS$:

$$\rho_{\text{в}}(H-h)=\rho_{\text{л}}H\quad\Longrightarrow\quad H(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})=\rho_{\text{в}}h\quad\Longrightarrow\quad H=\dfrac{\rho_{\text{в}}h}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}.$$

Численно: $H=\dfrac{1000\cdot 0{,}02}{1000-900}=\dfrac{20}{100}=0{,}2\ \text{м}$.

Тогда масса льдины

$$m=\rho_{\text{л}}SH=\dfrac{\rho_{\text{л}}\rho_{\text{в}}Sh}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}=900\cdot 0{,}25\cdot 0{,}2=45\ \text{кг}.$$

Проверка. Погружённая часть имеет толщину $H-h=0{,}18\ \text{м}$, значит вытеснено $V_{\text{погр}}=0{,}25\cdot 0{,}18=0{,}045\ \text{м}^3$ воды массой $1000\cdot 0{,}045=45\ \text{кг}$ — она совпадает с массой льдины, как и требует условие плавания.

Ответ: $m=45\ \text{кг}$.

Источник: ФИПИ