Задание №22 — Движение связанных тел

Решение:

Обозначения. $M_1$ — искомая масса первого груза, к которому приложена сила; $M_2 = 3\ \text{кг}$ — масса второго груза; $F = 18\ \text{Н}$ — максимальная сила, при которой нить ещё не обрывается; $T = 10\ \text{Н}$ — максимальная нагрузка, которую выдерживает нить (сила натяжения нити при этой силе $F$); $a$ — модуль ускорения грузов.

Физическая модель. Поверхность гладкая, поэтому сил трения нет. Нить нерастяжима — ускорения обоих грузов одинаковы по модулю и направлению; нить невесома — сила натяжения одинакова на обоих её концах. Грузы считаем материальными точками, система отсчёта, связанная с дорогой, инерциальна. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры вертикальны и в проекции на горизонтальную ось $Ox$ (вдоль $\vec F$) не входят.

Второй закон Ньютона. Для второго груза единственная горизонтальная сила — натяжение нити:

$$T = M_2 a .$$

Для системы двух грузов как целого:

$$F = (M_1 + M_2)\,a .$$

Преобразования. Из первого уравнения

$$a = \frac{T}{M_2} = \frac{10}{3}\ \text{м/с}^2 .$$

Тогда из второго

$$M_1 + M_2 = \frac{F}{a} = \frac{F M_2}{T}\quad\Rightarrow\quad M_1 = \frac{F M_2}{T} - M_2 = \frac{M_2 (F - T)}{T}.$$

Расчёт.

$$M_1 = \frac{3\cdot(18 - 10)}{10} = \frac{24}{10} = 2{,}4\ \text{кг}.$$

Проверка. При $M_1 = 2{,}4\ \text{кг}$ общая масса $M_1 + M_2 = 5{,}4\ \text{кг}$, ускорение $a = 18/5{,}4 = 10/3\ \text{м/с}^2$, натяжение нити $T = 3\cdot 10/3 = 10\ \text{Н}$ — ровно предельное значение.

Ответ: $M_1 = 2{,}4\ \text{кг}$.