Задание №22 — Кинетическая энергия

Решение:

Обозначения. $m = 2500\ \text{кг}$ — масса автомобиля; $x(t)$ — координата автомобиля; $v$ — модуль его скорости; $v_{\text{макс}}$ — максимальный модуль скорости; $E_{\text{к,макс}}$ — искомая максимальная кинетическая энергия.

Как читать график. Проекция скорости на ось $Ox$ равна производной координаты по времени, то есть угловому коэффициенту графика $x(t)$:

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t},\qquad v = |v_x| .$$

Кинетическая энергия $E_{\text{к}} = \dfrac{m v^{2}}{2}$ — возрастающая функция модуля скорости, поэтому она максимальна там, где график $x(t)$ идёт круче всего (наибольший модуль наклона).

Анализ участков. На интервале от $0$ до $1$ мин координата убывает от $600$ м до $300$ м, то есть $|\Delta x| = 300$ м за $60$ с, что даёт $5\ \text{м/с}$. На интервале от $3$ до $4$ мин координата растёт от $900$ м до $1200$ м — это тоже $5\ \text{м/с}$, а далее, от $4$ до $7$ мин, автомобиль проходит $600$ м за $180$ с, то есть примерно $3{,}3\ \text{м/с}$. Самый крутой участок графика — от $t_1 = 2$ мин до $t_2 = 3$ мин, где координата возрастает от $x_1 = 300$ м до $x_2 = 900$ м.

Максимальная скорость. Переведём время в секунды: $t_2 - t_1 = 1\ \text{мин} = 60\ \text{с}$. Тогда

$$v_{\text{макс}} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{900 - 300}{60} = 10\ \text{м/с}.$$

Максимальная кинетическая энергия.

$$E_{\text{к,макс}} = \frac{m v_{\text{макс}}^{2}}{2} = \frac{2500\cdot 10^{2}}{2} = 1{,}25\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 125\ \text{кДж}.$$

Ответ: $E_{\text{к,макс}} = 1{,}25\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 125\ \text{кДж}$.