Задание №22 — Условия равновесия тела

Решение:

Обозначения. $l=90$ см — длина линейки; $M$ — масса линейки; $m_1=100$ г — предельная масса груза при свесе $l/4$; $m_2$ — искомая предельная масса груза при свесе $l/3$; $g$ — ускорение свободного падения; $O$ — ребро стола, вокруг которого линейка может повернуться.

Физическая модель и законы. Линейка однородна, поэтому её центр тяжести совпадает с серединой и находится на расстоянии $l/2$ от каждого конца. Груз считаем точечным и лежащим на самом краю линейки. Опрокидывание — это поворот линейки как твёрдого тела вокруг ребра стола $O$, поэтому применимо условие равновесия тела, имеющего ось вращения (правило моментов): алгебраическая сумма моментов сил относительно оси $O$ равна нулю.

Относительно ребра стола сила тяжести линейки $M\vec g$, приложенная в её центре тяжести (он лежит над столом), создаёт момент, удерживающий линейку, а сила тяжести груза $m\vec g$ — опрокидывающий момент. Линейка не опрокидывается, пока $$m g a \le M g d,$$ где $a$ — плечо силы тяжести груза (расстояние от ребра стола до правого конца линейки), $d$ — плечо силы тяжести линейки (расстояние от ребра стола до её середины). Предельной массе груза отвечает знак равенства.

Первый случай (свес $l/4$). Ребро стола находится на расстоянии $l-\dfrac{l}{4}=\dfrac{3l}{4}$ от левого конца линейки, поэтому $$d_1=\frac{3l}{4}-\frac{l}{2}=\frac{l}{4},\qquad a_1=\frac{l}{4}.$$ Условие $m_1 g a_1 = M g d_1$ даёт $m_1\dfrac{l}{4}=M\dfrac{l}{4}$, то есть $M=m_1=100$ г. Так из первого условия находится масса самой линейки.

Второй случай (свес $l/3$). Теперь ребро стола находится на расстоянии $l-\dfrac{l}{3}=\dfrac{2l}{3}$ от левого конца, поэтому $$d_2=\frac{2l}{3}-\frac{l}{2}=\frac{l}{6},\qquad a_2=\frac{l}{3}.$$ Из условия $m_2 g a_2 = M g d_2$ получаем $$m_2 = M\,\frac{d_2}{a_2}=M\cdot\frac{l/6}{l/3}=\frac{M}{2}=\frac{m_1}{2}.$$

Расчёт. $m_2=\dfrac{100\ \text{г}}{2}=50\ \text{г}=0{,}05\ \text{кг}.$ Заметим, что длина линейки в ответ не входит: оба плеча пропорциональны $l$, и $l$ сокращается, — значение $l=90$ см приведено лишь для наглядности.

Ответ: $m_2=50$ г $=0{,}05$ кг.