Задание №22 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обозначения. $m = 0{,}4\ \text{кг}$ — масса груза; $k = 100\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины; $h = 5\ \text{м}$ — расстояние, пройденное лифтом; $t = 2\ \text{с}$ — время подъёма; $a$ — модуль ускорения лифта; $x$ — искомое удлинение пружины; $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Ускорение лифта. Лифт движется равноускоренно из состояния покоя, поэтому пройденный путь связан с ускорением кинематическим законом равноускоренного движения:

$$h = \frac{a t^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad a = \frac{2h}{t^{2}} = \frac{2\cdot 5}{2^{2}} = 2{,}5\ \text{м/с}^2 .$$

Так как лифт разгоняется, поднимаясь вверх, вектор $\vec a$ направлен вертикально вверх.

Динамика груза. При установившемся движении груз покоится относительно лифта, значит, в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй, он движется с тем же ускорением $a$, направленным вверх. На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec g$ (вертикально вниз) и сила упругости пружины $\vec F_{\text{упр}}$ (вертикально вверх). Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось $Oy$, направленную вверх:

$$F_{\text{упр}} - mg = ma .$$

По закону Гука $F_{\text{упр}} = kx$, поэтому

$$kx = m(g + a)\quad\Rightarrow\quad x = \frac{m(g + a)}{k}.$$

Расчёт.

$$x = \frac{0{,}4\cdot(10 + 2{,}5)}{100} = \frac{5}{100} = 0{,}05\ \text{м} = 5\ \text{см}.$$

Ответ: $x = 0{,}05\ \text{м} = 5\ \text{см}$.