Задание №22 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обозначения. $M = 30\ \text{кг}$ — масса тележки, $v_0 = 2\ \text{м/с}$ — её скорость до прыжка, $m = 50\ \text{кг}$ — масса мальчика, $v$ — искомая скорость мальчика относительно дороги перед прыжком, $u = 3\ \text{м/с}$ — скорость тележки (вместе с мальчиком) после взаимодействия.

Обоснование применимости закона. Дорога горизонтальная и гладкая, поэтому действующие на систему «мальчик + тележка» внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции дороги) направлены вертикально и в сумме дают нуль в проекции на горизонтальное направление. Следовательно, проекция импульса системы на горизонтальную ось сохраняется. Мальчик запрыгивает на тележку и остаётся на ней, значит после взаимодействия оба тела движутся как единое целое с одной и той же скоростью $u$ (абсолютно неупругое взаимодействие). Тела считаем материальными точками.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$, направленную по движению тележки (мальчик догоняет тележку, поэтому его скорость сонаправлена с $\vec{v_0}$):

$m v + M v_0 = (m + M) u$.

Отсюда

$v = \dfrac{(m + M)u - M v_0}{m}$.

Расчёт. $v = \dfrac{(50 + 30)\ \text{кг}\cdot 3\ \text{м/с} - 30\ \text{кг}\cdot 2\ \text{м/с}}{50\ \text{кг}} = \dfrac{240 - 60}{50}\ \text{м/с} = 3{,}6\ \text{м/с}$.

Проверка. Полученная скорость $v = 3{,}6\ \text{м/с} \gt v_0 = 2\ \text{м/с}$ — мальчик действительно догоняет тележку; скорость после взаимодействия $u = 3\ \text{м/с}$ лежит между $v_0$ и $v$, как и должно быть при неупругом столкновении.

Ответ: $v = 3{,}6\ \text{м/с}$.