Задание №22 — Равноускоренное прямолинейное движение

Решение:

Обозначения. $s = 1\ \text{км} = 1000\ \text{м}$ — путь, пройденный за последний участок; $t = 250\ \text{с}$ — время его прохождения; $v_0$ — искомая скорость в начале торможения; $v = 0$ — скорость в момент остановки; $a$ — модуль ускорения (постоянный по условию).

Физическая модель. Движение прямолинейное равноускоренное (равнозамедленное), поезд рассматриваем как материальную точку. При постоянном ускорении средняя путевая скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:

$$\langle v\rangle = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{v_0}{2},\qquad \langle v\rangle = \frac{s}{t}.$$

Приравнивая, получаем

$$\frac{v_0}{2} = \frac{s}{t}\quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{2s}{t}.$$

Расчёт.

$$v_0 = \frac{2\cdot 1000}{250} = 8\ \text{м/с}.$$

Проверка. Тот же результат даёт система уравнений $0 = v_0 - at$ и $s = v_0 t - \dfrac{at^{2}}{2}$: из первого $a = v_0/t$, подстановка во второе даёт $s = v_0 t/2$. Модуль ускорения при этом $a = 8/250 = 0{,}032\ \text{м/с}^2$ — реалистичное значение для служебного торможения поезда.

Ответ: $v_0 = 8\ \text{м/с}$.