Задание №22 — Второй закон Ньютона

Решение:

Обозначения. $m$ — искомая масса груза; $k = 100\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины; $h = 5\ \text{м}$ — расстояние, пройденное лифтом вниз; $t = 2\ \text{с}$ — время спуска; $a$ — модуль ускорения лифта; $x = 1{,}5\ \text{см} = 0{,}015\ \text{м}$ — удлинение пружины; $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Ускорение лифта. Лифт движется равноускоренно из состояния покоя, поэтому

$$h = \frac{a t^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad a = \frac{2h}{t^{2}} = \frac{2\cdot 5}{2^{2}} = 2{,}5\ \text{м/с}^2 .$$

Лифт разгоняется, опускаясь вниз, поэтому вектор $\vec a$ направлен вертикально вниз.

Динамика груза. При установившемся движении груз покоится относительно лифта и в системе отсчёта, связанной с землёй, имеет то же ускорение $a$, направленное вниз. На груз действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз) и сила упругости пружины $\vec F_{\text{упр}} = k\vec x$ по модулю $F_{\text{упр}} = kx$ (вверх). Второй закон Ньютона в проекции на ось $Oy$, направленную вертикально вниз:

$$mg - kx = ma\quad\Rightarrow\quad m(g - a) = kx\quad\Rightarrow\quad m = \frac{kx}{g - a}.$$

Расчёт.

$$m = \frac{100\cdot 0{,}015}{10 - 2{,}5} = \frac{1{,}5}{7{,}5} = 0{,}2\ \text{кг}.$$

Проверка: при неподвижном лифте такой груз растянул бы пружину на $mg/k = 0{,}02\ \text{м} = 2\ \text{см}$; при спуске с ускорением груз «легче», и удлинение меньше — $1{,}5\ \text{см}$, что согласуется с условием.

Ответ: $m = 0{,}2\ \text{кг} = 200\ \text{г}$.