Задание №22 — Закон сохранения импульса системы тел

Решение:

Обозначения. $M = 50\ \text{кг}$ — масса тележки; $u_1 = 1\ \text{м/с}$ — модуль скорости тележки до прыжка; $m = 50\ \text{кг}$ — масса мальчика; $u_2 = 2\ \text{м/с}$ — модуль скорости мальчика относительно дороги до прыжка; $v$ — искомый модуль скорости тележки с мальчиком после прыжка.

Закон сохранения импульса. Дорога горизонтальная и гладкая, поэтому в горизонтальном направлении на систему «тележка + мальчик» внешние силы не действуют (сила тяжести и сила нормальной реакции вертикальны и компенсируют друг друга). Следовательно, горизонтальная проекция импульса системы при прыжке сохраняется. Прыжок — абсолютно неупругое взаимодействие: после него мальчик и тележка движутся как одно тело.

Мальчик догоняет тележку, значит, его скорость сонаправлена со скоростью тележки. Направим ось $Ox$ вдоль движения тележки. Тогда

$$M u_1 + m u_2 = (M + m)\,v \quad\Rightarrow\quad v = \frac{M u_1 + m u_2}{M + m}.$$

Расчёт.

$$v = \frac{50\cdot 1 + 50\cdot 2}{50 + 50} = \frac{50 + 100}{100} = 1{,}5\ \text{м/с}.$$

Результат правдоподобен: скорость системы оказалась между $1\ \text{м/с}$ и $2\ \text{м/с}$, причём равна среднему арифметическому, что и должно быть при равных массах.

Ответ: $v = 1{,}5\ \text{м/с}$.