Задание №5 — Математический и пружинный маятник

Решение:

Частота свободных колебаний $\nu = 0{,}5\ \text{Гц}$, поэтому период колебаний

$$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0{,}5} = 2\ \text{с}.$$

Маятник отпустили без начальной скорости из положения 1 — это крайнее положение. Значит, 2 — положение равновесия, 3 — противоположное крайнее положение. Из крайнего положения в положение равновесия маятник приходит за четверть периода $T/4 = 0{,}5\ \text{с}$, в противоположное крайнее положение — за полпериода $T/2 = 1\ \text{с}$, а возвращается в исходное положение через полный период $T = 2\ \text{с}$.

1) Потенциальная энергия (отсчитываемая от положения равновесия) максимальна в крайних положениях. В начальный момент маятник уже находится в крайнем положении 1, а впервые после начала движения максимум достигается в положении 3, то есть через $T/2 = 1\ \text{с}$, а не через $2\ \text{с}$ — утверждение неверно.

2) В положение 1 маятник впервые вернётся, совершив полное колебание, то есть через $T = 2\ \text{с}$, а не через $0{,}5\ \text{с}$ — утверждение неверно.

3) Сопротивление воздуха отсутствует, силы трения не действуют, а сила натяжения нити перпендикулярна скорости и работы не совершает. Значит, полная механическая энергия сохраняется — утверждение верно.

4) Кинетическая энергия максимальна в положении равновесия 2, куда маятник впервые приходит через $T/4 = 0{,}5\ \text{с}$ после начала движения — утверждение верно.

5) При отклонении нити на угол $\alpha$ второй закон Ньютона в проекции на нить даёт $F_{\text{н}} - mg\cos\alpha = \dfrac{m\upsilon^2}{L}$, откуда

$$F_{\text{н}} = mg\cos\alpha + \frac{m\upsilon^2}{L}.$$

При движении из положения 3 в положение 2 угол $\alpha$ уменьшается (значит, $\cos\alpha$ растёт), а скорость $\upsilon$ увеличивается. Поэтому модуль силы натяжения нити не уменьшается, а увеличивается — утверждение неверно.

Верны утверждения 3 и 4.

Ответ: 34

Источник: ФИПИ