Задание №24 — Внутренняя энергия идеального газа

Решение:

Обозначения. $M$ — искомая масса поршня; $S$ — площадь его основания; $p_0$ — атмосферное давление (оно же начальное давление газа); $h$ — начальная высота нижней стороны поршня (высота столба газа) над дном, $H$ — её конечная высота; $Q$ — сообщённое газу количество теплоты; $g$ — ускорение свободного падения; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — работа газа. Состояния газа: 1 — исходное $(p_0,\ V_1 = Sh)$; 2 — момент отрыва поршня от выступов $(p_1,\ V_1)$; 3 — конечное $(p_1,\ V_2 = SH)$.

1. Два этапа процесса. Пока поршень опирается на выступы, он неподвижен, и объём газа не меняется — газ нагревается изохорно (1 → 2). Поршень оторвётся от выступов, когда сила давления газа снизу уравновесит силу тяжести поршня и силу давления атмосферы сверху (стенки гладкие, трения нет):

$$p_1 S = p_0 S + Mg \quad \Longrightarrow \quad p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}.$$

Затем поршень медленно поднимается, всё время оставаясь в равновесии, поэтому давление газа остаётся равным $p_1$: расширение изобарное (2 → 3) до объёма $V_2 = SH$.

2. Первый закон термодинамики. Тепловых потерь нет, поэтому

$$Q = \Delta U + A.$$

Газ одноатомный идеальный, его внутренняя энергия $U = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}pV$, поэтому за весь процесс

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left(p_1 V_2 - p_0 V_1\right) = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big].$$

Работу газ совершает только на изобарном участке (на изохоре $A = 0$):

$$A = p_1\left(V_2 - V_1\right) = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right)S\left(H - h\right) = \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right).$$

3. Математические преобразования.

$$Q = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big] + \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right) = \frac{5}{2}\,p_0 S\left(H - h\right) + \frac{1}{2}\,Mg\left(5H - 2h\right).$$

Выражаем массу поршня:

$$Mg\left(5H - 2h\right) = 2Q - 5\,p_0 S\left(H - h\right),$$

$$\boxed{\ M = \frac{2Q - 5\,p_0 S\left(H - h\right)}{g\left(5H - 2h\right)}\ }$$

Проверка. Размерность: числитель — $\text{Дж} = \text{Н}\cdot\text{м}$, знаменатель — $\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м}$, их отношение — $\dfrac{\text{Н}\cdot\text{с}^2}{\text{м}} = \text{кг}$, верно. Ответ имеет смысл при $2Q \gt 5 p_0 S (H-h)$: часть теплоты обязательно уходит на работу против атмосферы и на нагрев газа, и если её мало, поршень массы $M \gt 0$ до высоты $H$ не поднимется.

Ответ: $M = \dfrac{2Q - 5\,p_0 S\left(H - h\right)}{g\left(5H - 2h\right)}$.