Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $V = 15\ \text{л} = 15\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3$ — объём воздуха, проходящий через лёгкие за 1 мин; $t = 1\ \text{ч} = 60\ \text{мин}$; $V_{\text{общ}} = 60V = 0{,}9\ \text{м}^3$ — объём воздуха за 1 ч; $T_1 = 20\ ^\circ\text{C} = 293\ \text{К}$ и $T_2 = 34\ ^\circ\text{C} = 307\ \text{К}$ — температуры вдыхаемого и выдыхаемого воздуха; $\varphi_1 = 40\% = 0{,}4$ и $\varphi_2 = 100\% = 1$ — их относительные влажности; $p_{\text{н}1} = 2{,}34\ \text{кПа}$ и $p_{\text{н}2} = 5{,}32\ \text{кПа}$ — давления насыщенного пара при $20\ ^\circ\text{C}$ и $34\ ^\circ\text{C}$; $p_1,\ p_2$ — парциальные давления водяного пара во вдыхаемом и выдыхаемом воздухе; $m_1,\ m_2$ — массы водяного пара, вошедшего в лёгкие и вышедшего из них за 1 ч; $m$ — искомая потеря воды; $M = 18\ \text{г/моль} = 0{,}018\ \text{кг/моль}$ — молярная масса воды; $R = 8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$.

1. Парциальные давления пара. По определению относительной влажности $\varphi = \dfrac{p_{\text{пар}}}{p_{\text{н}}}$, поэтому

$$p_1 = \varphi_1 p_{\text{н}1} = 0{,}4 \cdot 2{,}34\ \text{кПа} = 0{,}936\ \text{кПа},\qquad p_2 = \varphi_2 p_{\text{н}2} = 5{,}32\ \text{кПа}.$$

2. Массы пара. Водяной пар ненасыщен (или насыщен) и разрежен, его можно считать идеальным газом, для которого уравнение Менделеева — Клапейрона имеет вид $pV = \dfrac{m}{M}RT$. Отсюда масса пара в объёме $V_{\text{общ}}$:

$$m_1 = \frac{p_1 V_{\text{общ}} M}{R T_1},\qquad m_2 = \frac{p_2 V_{\text{общ}} M}{R T_2}.$$

По условию объём выдыхаемого воздуха равен объёму вдыхаемого, поэтому в обеих формулах стоит один и тот же $V_{\text{общ}}$.

3. Потеря воды. Тело теряет разность масс унесённого и принесённого пара:

$$m = m_2 - m_1 = \frac{M V_{\text{общ}}}{R}\left(\frac{p_2}{T_2} - \frac{\varphi_1 p_{\text{н}1}}{T_1}\right).$$

4. Численный расчёт.

$$V_{\text{общ}} = 60 \cdot 15\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3 = 0{,}9\ \text{м}^3,$$

$$\frac{p_2}{T_2} = \frac{5320}{307} \approx 17{,}33\ \frac{\text{Па}}{\text{К}},\qquad \frac{p_1}{T_1} = \frac{936}{293} \approx 3{,}19\ \frac{\text{Па}}{\text{К}},$$

$$m = \frac{0{,}018 \cdot 0{,}9}{8{,}31}\left(17{,}33 - 3{,}19\right) \approx 1{,}95\cdot 10^{-3} \cdot 14{,}13 \approx 2{,}76\cdot 10^{-2}\ \text{кг}.$$

То есть $m \approx 27{,}6\ \text{г} \approx 28\ \text{г}$ — правдоподобная величина: за сутки при такой нагрузке это дало бы около 0,7 кг воды.

Ответ: $m \approx 2{,}8\cdot 10^{-2}\ \text{кг} \approx 28\ \text{г}$.