Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

#68172Задание №24ФИПИ

Модель идеального газа в термодинамикеПервый закон термодинамики. Адиабата

Два теплоизолированных сосуда, объёмы которых $V_{1} = 1{,}5 V$ и $V_{2} = V ,$ соединены между собой трубкой с вентилем. Вентиль закрыт. Сосуды содержат разреженный гелий и разреженный аргон в количествах v₁ и v₂ = 3v₁ при температурах T₁ и Т₂ = 3T₁ соответственно. Каким будет давление в сосудах, если вентиль открыть? Объёмом трубки пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $V_1 = 1{,}5V$ и $V_2 = V$ — объёмы первого (гелий) и второго (аргон) сосудов; $\nu_1$ и $\nu_2 = 3\nu_1$ — количества вещества гелия и аргона; $T_1$ и $T_2 = 3T_1$ — их начальные температуры; $T$ — установившаяся температура смеси; $p$ — искомое давление; $U$ — внутренняя энергия; $R$ — универсальная газовая постоянная.

1. Какие законы применимы. Газы разрежены, поэтому их можно считать идеальными и описывать уравнением Менделеева — Клапейрона $pV = \nu RT$ . Гелий и аргон — одноатомные газы, для них внутренняя энергия $U = \dfrac{3}{2}\nu RT$ . Сосуды теплоизолированы (теплообмена с окружением нет, $Q = 0$ ) и жёсткие, а объёмом соединительной трубки пренебрегаем, поэтому газ в целом не совершает работы над внешними телами ( $A = 0$ ).

2. Сохранение внутренней энергии. По первому закону термодинамики для всей системы $\Delta U = Q - A = 0$ , то есть суммарная внутренняя энергия не меняется:

$\frac{3}{2}\nu_1 R T_1 + \frac{3}{2}\nu_2 R T_2 = \frac{3}{2}\left(\nu_1 + \nu_2\right)R T.$

Подставим $\nu_2 = 3\nu_1$ и $T_2 = 3T_1$ :

$\nu_1 T_1 + 3\nu_1 \cdot 3T_1 = \left(\nu_1 + 3\nu_1\right)T,\qquad 10\,\nu_1 T_1 = 4\,\nu_1 T,$

$T = \frac{10}{4}\,T_1 = 2{,}5\,T_1.$

3. Давление смеси. После открытия вентиля смесь занимает суммарный объём $V_1 + V_2 = 1{,}5V + V = 2{,}5V$ и содержит $\nu_1 + \nu_2 = 4\nu_1$ молей. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений, а каждое из них находится по уравнению Менделеева — Клапейрона, поэтому

$p = \frac{\left(\nu_1 + \nu_2\right)RT}{V_1 + V_2} = \frac{4\nu_1 R \cdot 2{,}5\,T_1}{2{,}5\,V},$

$p = \frac{4\nu_1 R T_1}{V}.$

Проверка правдоподобия. Начальные давления в сосудах были $p_1 = \dfrac{\nu_1 R T_1}{1{,}5V} = \dfrac{2\nu_1 R T_1}{3V}$ и $p_2 = \dfrac{3\nu_1 R \cdot 3T_1}{V} = \dfrac{9\nu_1 R T_1}{V}$ . Полученное значение $p = \dfrac{4\nu_1 R T_1}{V}$ лежит между ними ( $p_1 \lt p \lt p_2$ ), как и должно быть при выравнивании. Так же и температура: $T_1 \lt 2{,}5T_1 \lt 3T_1$ .

Ответ: $p = \dfrac{4\nu_1 R T_1}{V}$ (при этом установится температура $T = 2{,}5\,T_1$ ).