Задание №24 — Внутренняя энергия идеального газа

Решение:

Обозначения. $S$ — искомая площадь основания поршня; $M$ — масса поршня; $p_0$ — атмосферное давление (оно же начальное давление газа); $h$ — начальная высота нижней стороны поршня (высота столба газа) над дном, $H$ — её конечная высота; $Q$ — сообщённое газу количество теплоты; $g$ — ускорение свободного падения; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — работа газа. Состояния газа: 1 — исходное $(p_0,\ V_1 = Sh)$; 2 — момент отрыва поршня от выступов $(p_1,\ V_1)$; 3 — конечное $(p_1,\ V_2 = SH)$.

1. Два этапа процесса. Пока поршень лежит на выступах, он неподвижен, и объём газа не меняется: газ нагревается изохорно (участок 1 → 2). Поршень оторвётся от выступов, когда сила давления газа снизу уравновесит вес поршня и силу давления атмосферы сверху (стенки гладкие, трения нет):

$$p_1 S = p_0 S + Mg \quad \Longrightarrow \quad p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}.$$

Дальше поршень медленно поднимается, оставаясь в равновесии, поэтому давление газа сохраняется равным $p_1$: расширение изобарное (участок 2 → 3) до объёма $V_2 = SH$.

2. Первый закон термодинамики. Тепловых потерь нет, поэтому вся сообщённая теплота идёт газу:

$$Q = \Delta U + A.$$

Газ одноатомный идеальный, значит его внутренняя энергия $U = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}pV$, и изменение внутренней энергии за весь процесс

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left(p_1 V_2 - p_0 V_1\right) = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big].$$

Работу газ совершает только на изобарном участке (на изохоре $A = 0$):

$$A = p_1\left(V_2 - V_1\right) = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right)S\left(H - h\right) = \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right).$$

3. Математические преобразования. Складывая,

$$Q = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big] + \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right),$$

$$Q = \frac{5}{2}\,p_0 S\left(H - h\right) + \frac{1}{2}\,Mg\left(5H - 2h\right).$$

Отсюда выражаем площадь основания поршня:

$$5\,p_0 S\left(H - h\right) = 2Q - Mg\left(5H - 2h\right),$$

$$\boxed{\ S = \frac{2Q - Mg\left(5H - 2h\right)}{5\,p_0\left(H - h\right)}\ }$$

Проверка. Размерность: в числителе $\text{Дж}$, в знаменателе $\text{Па}\cdot\text{м} = \text{Дж}/\text{м}^{2}$, то есть результат выражен в $\text{м}^{2}$ — верно. Решение имеет смысл при $2Q \gt Mg\left(5H - 2h\right)$: если теплоты меньше, её не хватает даже на подъём поршня до высоты $H$. Чем больше $Q$, тем больше $S$, что естественно: газ большего сечения при том же подъёме совершает бо́льшую работу против атмосферы.

Ответ: $S = \dfrac{2Q - Mg\left(5H - 2h\right)}{5\,p_0\left(H - h\right)}$.