Задание №24 — Внутренняя энергия идеального газа

#68199Задание №24ФИПИ

Первый закон термодинамики. АдиабатаМодель идеального газа в термодинамике

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой М и конечной площадью основания находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте h, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рис. а). Давление газа p₀ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты Q, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте H (см. рис. б). Чему равна площадь основания прошня S? Тепловыми потерями пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $S$ — искомая площадь основания поршня; $M$ — масса поршня; $p_0$ — атмосферное давление (оно же начальное давление газа); $h$ — начальная высота нижней стороны поршня (высота столба газа) над дном, $H$ — её конечная высота; $Q$ — сообщённое газу количество теплоты; $g$ — ускорение свободного падения; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — работа газа. Состояния газа: 1 — исходное $(p_0,\ V_1 = Sh)$ ; 2 — момент отрыва поршня от выступов $(p_1,\ V_1)$ ; 3 — конечное $(p_1,\ V_2 = SH)$ .

1. Два этапа процесса. Пока поршень лежит на выступах, он неподвижен, и объём газа не меняется: газ нагревается изохорно (участок 1 → 2). Поршень оторвётся от выступов, когда сила давления газа снизу уравновесит вес поршня и силу давления атмосферы сверху (стенки гладкие, трения нет):

$p_1 S = p_0 S + Mg \quad \Longrightarrow \quad p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}.$

Дальше поршень медленно поднимается, оставаясь в равновесии, поэтому давление газа сохраняется равным $p_1$ : расширение изобарное (участок 2 → 3) до объёма $V_2 = SH$ .

2. Первый закон термодинамики. Тепловых потерь нет, поэтому вся сообщённая теплота идёт газу:

$Q = \Delta U + A.$

Газ одноатомный идеальный, значит его внутренняя энергия $U = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}pV$ , и изменение внутренней энергии за весь процесс

$\Delta U = \frac{3}{2}\left(p_1 V_2 - p_0 V_1\right) = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big].$

Работу газ совершает только на изобарном участке (на изохоре $A = 0$ ):

$A = p_1\left(V_2 - V_1\right) = \left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right)S\left(H - h\right) = \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right).$

3. Математические преобразования. Складывая,

$Q = \frac{3}{2}\Big[\left(p_0 S + Mg\right)H - p_0 S h\Big] + \left(p_0 S + Mg\right)\left(H - h\right),$

$Q = \frac{5}{2}\,p_0 S\left(H - h\right) + \frac{1}{2}\,Mg\left(5H - 2h\right).$

Отсюда выражаем площадь основания поршня:

$5\,p_0 S\left(H - h\right) = 2Q - Mg\left(5H - 2h\right),$

$\boxed{\ S = \frac{2Q - Mg\left(5H - 2h\right)}{5\,p_0\left(H - h\right)}\ }$

Проверка. Размерность: в числителе $\text{Дж}$ , в знаменателе $\text{Па}\cdot\text{м} = \text{Дж}/\text{м}^{2}$ , то есть результат выражен в $\text{м}^{2}$ — верно. Решение имеет смысл при $2Q \gt Mg\left(5H - 2h\right)$ : если теплоты меньше, её не хватает даже на подъём поршня до высоты $H$ . Чем больше $Q$ , тем больше $S$ , что естественно: газ большего сечения при том же подъёме совершает бо́льшую работу против атмосферы.

Ответ: $S = \dfrac{2Q - Mg\left(5H - 2h\right)}{5\,p_0\left(H - h\right)}$ .