Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $V$ — полный объём сосуда (сосуд закрыт, поэтому $V$ постоянен); $V_{\text{в}1},\ V_{\text{н}1}$ — объёмы верхней и нижней частей в начальном состоянии, $V_{\text{в}2},\ V_{\text{н}2}$ — в конечном; $p_{\text{в}1},\ p_{\text{н}1},\ p_{\text{в}2},\ p_{\text{н}2}$ — давления воздуха в соответствующих частях; $M$ — масса поршня, $S$ — площадь его основания, $g$ — ускорение свободного падения; $\nu = 1$ моль — количество воздуха в каждой части вначале; $\nu'$ — количество воздуха в нижней части в конце; $\Delta\nu = \nu - \nu'$ — удалённое количество воздуха; $T$ — одинаковая и постоянная температура; $R$ — универсальная газовая постоянная.

1. Условие равновесия поршня. На поршень действуют сила тяжести $Mg$ (вниз), сила давления нижнего газа $p_{\text{н}}S$ (вверх) и сила давления верхнего газа $p_{\text{в}}S$ (вниз); трения нет. Для покоящегося поршня сумма сил равна нулю:

$$p_{\text{н}}S = p_{\text{в}}S + Mg \quad \Longrightarrow \quad p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{Mg}{S}.$$

Масса и площадь поршня не меняются, поэтому эта разность давлений одна и та же в начальном и в конечном состояниях.

2. Начальное состояние. По условию $\dfrac{V_{\text{в}1}}{V_{\text{н}1}} = 2$ и $V_{\text{в}1} + V_{\text{н}1} = V$, откуда

$$V_{\text{в}1} = \frac{2V}{3},\qquad V_{\text{н}1} = \frac{V}{3}.$$

Воздух считаем идеальным газом; по уравнению Менделеева — Клапейрона $pV = \nu RT$:

$$p_{\text{в}1} = \frac{\nu RT}{V_{\text{в}1}} = \frac{3\nu RT}{2V},\qquad p_{\text{н}1} = \frac{\nu RT}{V_{\text{н}1}} = \frac{3\nu RT}{V}.$$

Тогда из условия равновесия

$$\frac{Mg}{S} = p_{\text{н}1} - p_{\text{в}1} = \frac{3\nu RT}{V} - \frac{3\nu RT}{2V} = \frac{3\nu RT}{2V}.$$

3. Конечное состояние. Теперь $\dfrac{V_{\text{в}2}}{V_{\text{н}2}} = 3$ и $V_{\text{в}2} + V_{\text{н}2} = V$, откуда

$$V_{\text{в}2} = \frac{3V}{4},\qquad V_{\text{н}2} = \frac{V}{4}.$$

Количество воздуха вверху не изменилось (удаляли только из нижней части), внизу оно стало равным $\nu'$:

$$p_{\text{в}2} = \frac{\nu RT}{3V/4} = \frac{4\nu RT}{3V},\qquad p_{\text{н}2} = \frac{\nu' RT}{V/4} = \frac{4\nu' RT}{V}.$$

4. Вычисления. Подставляем в условие равновесия поршня в конечном состоянии $p_{\text{н}2} - p_{\text{в}2} = \dfrac{Mg}{S} = \dfrac{3\nu RT}{2V}$:

$$\frac{4\nu' RT}{V} - \frac{4\nu RT}{3V} = \frac{3\nu RT}{2V}.$$

Сокращая на $\dfrac{RT}{V}$, получаем

$$4\nu' = \frac{3\nu}{2} + \frac{4\nu}{3} = \frac{9\nu + 8\nu}{6} = \frac{17\nu}{6},\qquad \nu' = \frac{17\nu}{24}.$$

Удалённое количество воздуха

$$\Delta\nu = \nu - \nu' = \nu\left(1 - \frac{17}{24}\right) = \frac{7\nu}{24} = \frac{7 \cdot 1\ \text{моль}}{24} \approx 0{,}29\ \text{моль}.$$

Проверка правдоподобия. Воздух убрали снизу, давление снизу упало, поршень опустился — нижний объём уменьшился, верхний вырос, отношение объёмов возросло с 2 до 3, что согласуется с условием.

Ответ: $\Delta\nu = \dfrac{7\nu}{24} \approx 0{,}29$ моль.