Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

#68320Задание №24ФИПИ

Модель идеального газа в термодинамикеЗакон Дальтона для давления смеси разреженных газовПервый закон термодинамики. Адиабата

Два теплоизолированных сосуда, объёмы которых V₁ = 2V и V₂ = V, соединены между собой трубкой с вентилем. Вентиль закрыт. Сосуды содержат разреженный аргон и разреженный криптон в количествах v₁ и v₂ = 2v₁ при температурах Т₁ и Т₂ = 2Т₁ соответственно. Каким будет давление в сосудах, если вентиль открыть? Объёмом трубки пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $V_1 = 2V$ и $V_2 = V$ — объёмы сосудов; $\nu_1$ и $\nu_2 = 2\nu_1$ — количества вещества аргона и криптона; $T_1$ и $T_2 = 2T_1$ — их начальные температуры; $U_1$ , $U_2$ — их начальные внутренние энергии; $T$ — общая температура после открытия вентиля; $p$ — искомое давление; $R$ — универсальная газовая постоянная.

Газы разрежены, поэтому их можно считать идеальными. Аргон и криптон — инертные одноатомные газы, они не вступают в химическую реакцию, а внутренняя энергия каждого из них равна

$U = \frac{3}{2}\,\nu R T .$

Сосуды теплоизолированы, их стенки жёсткие, а газ расширяется в объём, занятый другим газом, не совершая работы над внешними телами. Значит, для системы двух газов $Q = 0$ и $A = 0$ , и по первому закону термодинамики её внутренняя энергия сохраняется:

$U_1 + U_2 = U'.$

Записываем это через температуры (в конечном состоянии оба газа имеют одну и ту же температуру $T$ ):

$\frac{3}{2}\nu_1 R T_1 + \frac{3}{2}\nu_2 R T_2 = \frac{3}{2}(\nu_1 + \nu_2) R T .$

Отсюда

$T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2} = \frac{\nu_1 T_1 + 2\nu_1\cdot 2T_1}{\nu_1 + 2\nu_1} = \frac{5\nu_1 T_1}{3\nu_1} = \frac{5}{3}\,T_1 .$

После открытия вентиля смесь занимает суммарный объём

$V_\text{общ} = V_1 + V_2 = 2V + V = 3V$

(объёмом трубки пренебрегаем). По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений, каждое из которых находится из уравнения Менделеева — Клапейрона, поэтому для смеси

$p\,V_\text{общ} = (\nu_1 + \nu_2) R T .$

Подставляем найденные величины:

$p = \frac{(\nu_1 + \nu_2) R T}{V_1 + V_2} = \frac{3\nu_1 R \cdot \dfrac{5}{3}T_1}{3V} = \frac{5\,\nu_1 R T_1}{3V}.$

Проверка: начальное давление аргона $p_1 = \dfrac{\nu_1 R T_1}{2V}$ , то есть $p = \dfrac{10}{3}p_1$ ; начальное давление криптона $p_2 = \dfrac{2\nu_1 R\cdot 2T_1}{V} = \dfrac{4\nu_1 R T_1}{V}$ , то есть $p = \dfrac{5}{12}p_2$ . Итоговое давление лежит между $p_1$ и $p_2$ , что естественно.

Ответ: $p = \dfrac{5\,\nu_1 R T_1}{3V}$ (это $\tfrac{10}{3}$ начального давления аргона и $\tfrac{5}{12}$ начального давления криптона).