Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $V_1$ и $V_2 = 3V_1$ — объёмы частей сосуда; $\varphi_1 = 80\ \%$ — относительная влажность в первой части; $\varphi_2$ — искомая относительная влажность во второй части; $\varphi = 50\ \%$ — относительная влажность после снятия перегородки; $p_1$, $p_2$, $p$ — соответствующие парциальные давления водяного пара; $p_\text{н}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.

Температура одинакова во всех частях сосуда и не меняется, поэтому давление насыщенного пара $p_\text{н}$ всюду одно и то же, а по определению относительной влажности

$$\varphi = \frac{p}{p_\text{н}} \quad \Rightarrow \quad p_1 = \varphi_1 p_\text{н}, \qquad p_2 = \varphi_2 p_\text{н}, \qquad p = \varphi p_\text{н}.$$

Пар считаем идеальным газом. После снятия перегородки пар из каждой части расширяется на весь объём $V_1 + V_2$ при постоянной температуре; по закону Бойля — Мариотта его парциальное давление становится равным $\dfrac{p_1V_1}{V_1+V_2}$ и $\dfrac{p_2V_2}{V_1+V_2}$ соответственно, а по закону Дальтона давление пара в сосуде равно их сумме:

$$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}.$$

Разделив на $p_\text{н}$, получаем связь относительных влажностей:

$$\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2}.$$

Выражаем искомую влажность $\varphi_2$, обозначив $k = \dfrac{V_2}{V_1} = 3$:

$$\varphi (1 + k) = \varphi_1 + \varphi_2 k \quad \Rightarrow \quad \varphi_2 = \frac{\varphi(1+k) - \varphi_1}{k}.$$

Подставляем числовые значения:

$$\varphi_2 = \frac{50\ \%\cdot 4 - 80\ \%}{3} = \frac{200\ \% - 80\ \%}{3} = 40\ \%.$$

Проверка: $\dfrac{80\ \% + 3\cdot 40\ \%}{4} = 50\ \%$ — совпадает с условием; все влажности меньше $100\ \%$, поэтому конденсации нет.

Ответ: $\varphi_2 = 40\ \%$.