Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $V_1$ и $V_2 = 3V_1$ — объёмы частей сосуда; $\varphi_1 = 80\ \%$ и $\varphi_2 = 60\ \%$ — относительные влажности в них; $p_1$, $p_2$ — парциальные давления водяного пара в первой и второй частях; $p$ и $\varphi$ — парциальное давление пара и относительная влажность после снятия перегородки; $p_\text{н}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.

Температура всюду одинакова и не меняется, поэтому давление насыщенного пара $p_\text{н}$ во всех частях сосуда одно и то же. По определению относительной влажности

$$\varphi = \frac{p}{p_\text{н}} \quad \Rightarrow \quad p_1 = \varphi_1 p_\text{н}, \qquad p_2 = \varphi_2 p_\text{н}.$$

Водяной пар считаем идеальным газом. После снятия перегородки пар из каждой части занимает весь объём $V_1 + V_2$ при неизменной температуре; по закону Бойля — Мариотта его парциальные давления становятся равными

$$p_1' = \frac{p_1 V_1}{V_1 + V_2}, \qquad p_2' = \frac{p_2 V_2}{V_1 + V_2}.$$

По закону Дальтона давление пара в сосуде равно сумме этих парциальных давлений:

$$p = p_1' + p_2' = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}.$$

Разделив обе части на $p_\text{н}$, получаем для относительной влажности

$$\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2} = \frac{\varphi_1 + \varphi_2\,\dfrac{V_2}{V_1}}{1 + \dfrac{V_2}{V_1}}.$$

Подставляем числовые значения $\left(\dfrac{V_2}{V_1} = 3\right)$:

$$\varphi = \frac{80\ \% + 3\cdot 60\ \%}{1 + 3} = \frac{80\ \% + 180\ \%}{4} = 65\ \%.$$

Полученное значение меньше $100\ \%$, значит пар не становится насыщенным, конденсации нет и сделанное допущение (весь пар остаётся паром) выполняется.

Ответ: $\varphi = 65\ \%$.