Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

#68375Задание №24ФИПИ

Модель идеального газа в термодинамике

Для того чтобы совершить воздушный полёт, бесстрашный изобретатель, масса которого 60 кг, решил использовать 5000 воздушных шаров, наполненных гелием. До какого объёма необходимо надувать гелием каждый шар, чтобы изобретатель смог подняться в воздух при нормальном атмосферном давлении? Температура окружающего воздуха равна 27 °С. Массой оболочек шаров и их упругостью, а также силой Архимеда, действующей на изобретателя, пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $M = 60\ \text{кг}$ — масса изобретателя; $N = 5000$ — число шаров; $V$ — искомый объём одного шара; $V_\text{общ} = NV$ — суммарный объём шаров; $p_0 = 10^5\ \text{Па}$ — нормальное атмосферное давление; $T = 27\ ^\circ\text{С} = 300\ \text{К}$ ; $M_\text{в} = 29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$ — молярная масса воздуха; $M_\text{г} = 4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$ — молярная масса гелия; $\rho_\text{в}$ , $\rho_\text{г}$ — плотности воздуха и гелия; $m_\text{г}$ — масса гелия во всех шарах; $R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$ ; $g = 10\ \text{м/с}^2$ .

Оболочки шаров невесомы и неупруги, поэтому давление гелия внутри шаров равно атмосферному $p_0$ , а температура гелия равна температуре окружающего воздуха $T$ .

Плотность идеального газа находим из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{\mu}RT$ :

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{p\mu}{RT}.$

$\rho_\text{в} = \frac{p_0 M_\text{в}}{RT} = \frac{10^5\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8{,}31\cdot 300}\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 1{,}16\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, \qquad \rho_\text{г} = \frac{p_0 M_\text{г}}{RT} \approx 0{,}16\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.$

Чтобы изобретатель поднялся в воздух, выталкивающая (архимедова) сила, действующая на шары, должна быть не меньше силы тяжести, действующей на изобретателя и гелий (силой Архимеда, действующей на самого изобретателя, и массой оболочек по условию пренебрегаем):

$F_A \ge (M + m_\text{г})g, \qquad F_A = \rho_\text{в} g V_\text{общ}, \qquad m_\text{г} = \rho_\text{г} V_\text{общ}.$

Отсюда

$\rho_\text{в} g N V \ge (M + \rho_\text{г} N V) g \quad \Rightarrow \quad N V (\rho_\text{в} - \rho_\text{г}) \ge M,$

$V \ge \frac{M}{N(\rho_\text{в} - \rho_\text{г})} = \frac{M R T}{N p_0 (M_\text{в} - M_\text{г})}.$

Подставляем числовые значения:

$V \ge \frac{60\ \text{кг}\cdot 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot 300\ \text{К}}{5000\cdot 10^5\ \text{Па}\cdot(29 - 4)\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}} = \frac{149\,580}{1{,}25\cdot 10^{7}}\ \text{м}^3 \approx 1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{м}^3.$

То есть каждый шар надо надуть примерно до $12$ литров (шар диаметром около $28$ см) — результат вполне правдоподобен.

Ответ: $V \approx 1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{м}^3 \approx 12\ \text{л}$ .