Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $M = 60\ \text{кг}$ — масса изобретателя; $N = 5000$ — число шаров; $V$ — искомый объём одного шара; $V_\text{общ} = NV$ — суммарный объём шаров; $p_0 = 10^5\ \text{Па}$ — нормальное атмосферное давление; $T = 27\ ^\circ\text{С} = 300\ \text{К}$; $M_\text{в} = 29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$ — молярная масса воздуха; $M_\text{г} = 4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}$ — молярная масса гелия; $\rho_\text{в}$, $\rho_\text{г}$ — плотности воздуха и гелия; $m_\text{г}$ — масса гелия во всех шарах; $R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$; $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Оболочки шаров невесомы и неупруги, поэтому давление гелия внутри шаров равно атмосферному $p_0$, а температура гелия равна температуре окружающего воздуха $T$.

Плотность идеального газа находим из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{\mu}RT$:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{p\mu}{RT}.$$

$$\rho_\text{в} = \frac{p_0 M_\text{в}}{RT} = \frac{10^5\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8{,}31\cdot 300}\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 1{,}16\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}, \qquad \rho_\text{г} = \frac{p_0 M_\text{г}}{RT} \approx 0{,}16\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.$$

Чтобы изобретатель поднялся в воздух, выталкивающая (архимедова) сила, действующая на шары, должна быть не меньше силы тяжести, действующей на изобретателя и гелий (силой Архимеда, действующей на самого изобретателя, и массой оболочек по условию пренебрегаем):

$$F_A \ge (M + m_\text{г})g, \qquad F_A = \rho_\text{в} g V_\text{общ}, \qquad m_\text{г} = \rho_\text{г} V_\text{общ}.$$

Отсюда

$$\rho_\text{в} g N V \ge (M + \rho_\text{г} N V) g \quad \Rightarrow \quad N V (\rho_\text{в} - \rho_\text{г}) \ge M,$$

$$V \ge \frac{M}{N(\rho_\text{в} - \rho_\text{г})} = \frac{M R T}{N p_0 (M_\text{в} - M_\text{г})}.$$

Подставляем числовые значения:

$$V \ge \frac{60\ \text{кг}\cdot 8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot 300\ \text{К}}{5000\cdot 10^5\ \text{Па}\cdot(29 - 4)\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}} = \frac{149\,580}{1{,}25\cdot 10^{7}}\ \text{м}^3 \approx 1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{м}^3.$$

То есть каждый шар надо надуть примерно до $12$ литров (шар диаметром около $28$ см) — результат вполне правдоподобен.

Ответ: $V \approx 1{,}2\cdot 10^{-2}\ \text{м}^3 \approx 12\ \text{л}$.