Задание №21 — Энергия поля конденсатора

Решение:

Обозначения. $q$ — заряд конденсатора; $C_0$ и $C$ — электроёмкости конденсатора до и после заполнения диэлектриком; $U_0$ и $U$ — напряжения между пластинами до и после; $E_0$ и $E$ — модули напряжённости поля между пластинами до и после; $W_0$ и $W$ — энергии электрического поля конденсатора до и после; $\epsilon=2{,}5$ — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика; $S$ — площадь пластины; $d$ — расстояние между пластинами; $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Физические закономерности, используемые в объяснении.

• Электроёмкость плоского конденсатора: $C=\dfrac{\epsilon\varepsilon_0 S}{d}$.
• Энергия заряженного конденсатора: $W=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{CU^2}{2}$.
• Определение ёмкости: $q=CU$.
• Закон сохранения электрического заряда: у отключённого от источника (изолированного) конденсатора заряд пластин измениться не может — стекать ему некуда.

Ход рассуждений. Конденсатор зарядили и отключили от источника, поэтому при внесении диэлектрика неизменной остаётся не разность потенциалов, а заряд: $q=\text{const}$.

Геометрия конденсатора ($S$ и $d$) не меняется, а воздух ($\epsilon\approx 1$) заменяется диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$, поэтому ёмкость увеличивается в $\epsilon$ раз:

$$C=\frac{\epsilon\varepsilon_0 S}{d}=\epsilon C_0 .$$

Причина этого — поляризация диэлектрика: связанные заряды на его поверхностях создают собственное поле, направленное против внешнего, поэтому поле и напряжение при неизменном заряде уменьшаются в $\epsilon$ раз: $E=\dfrac{E_0}{\epsilon}$, $U=\dfrac{q}{C}=\dfrac{q}{\epsilon C_0}=\dfrac{U_0}{\epsilon}$.

Энергию удобно выразить через сохраняющийся заряд:

$$W_0=\frac{q^2}{2C_0},\qquad W=\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2}{2\epsilon C_0}=\frac{W_0}{\epsilon}.$$

Отсюда

$$\frac{W}{W_0}=\frac{1}{\epsilon}=\frac{1}{2{,}5}=0{,}4 .$$

Тот же результат даёт и формула $W=\dfrac{qU}{2}$: заряд не изменился, напряжение уменьшилось в $2{,}5$ раза, значит, и энергия уменьшилась в $2{,}5$ раза. Убыль энергии равна работе, которую совершают силы электрического поля, втягивающие диэлектрик в конденсатор.

Ответ: энергия электрического поля конденсатора уменьшилась в $\epsilon=2{,}5$ раза (стала равна $0{,}4$ первоначальной), так как у отключённого от источника конденсатора сохраняется заряд, ёмкость при заполнении диэлектриком возрастает в $\epsilon$ раз, а $W=\dfrac{q^2}{2C}$ при постоянном $q$ обратно пропорциональна ёмкости.