Задание №21 — Изопроцессы. Графики изопроцессов

#68253Задание №21ФИПИ

Модель идеального газа в термодинамикеИзопроцессы в разреженном газе с постоянным числом м…

На графике представлена зависимость давления неизменной массы идеального газа от его плотности. Опишите, как изменяются в зависимости от плотности температура и объём газа в процессах 1-2 и 2-3.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $p$ — давление газа; $\rho$ — его плотность; $V$ — объём; $T$ — абсолютная температура; $m$ — масса газа (по условию неизменна); $M$ — молярная масса газа; $R$ — универсальная газовая постоянная; индексы 1, 2, 3 относятся к состояниям 1, 2 и 3.

Законы. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева—Клапейрона): $pV=\dfrac{m}{M}RT$ . По определению плотности $\rho=\dfrac{m}{V}$ , поэтому

$V=\frac{m}{\rho},\qquad p=\frac{\rho RT}{M},\qquad T=\frac{pM}{\rho R}.$

Так как масса газа постоянна, объём однозначно определяется плотностью: $V=\dfrac{m}{\rho}$ — объём обратно пропорционален плотности в любом процессе.

Процесс 1–2. Это отрезок прямой, продолжение которого проходит через начало координат (показано пунктиром), то есть $p=k\rho$ , где $k=\text{const}$ , или $\dfrac{p}{\rho}=\text{const}$ . Тогда

$T=\frac{pM}{\rho R}=\frac{kM}{R}=\text{const},$

то есть процесс изотермический: температура от плотности не зависит и не меняется, $T_2=T_1$ . Плотность при этом возрастает от $\rho_1$ до $\rho_2$ , поэтому объём $V=\dfrac{m}{\rho}$ убывает обратно пропорционально плотности — в $\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$ раз. Газ изотермически сжимается, и давление растёт во столько же раз, во сколько уменьшается объём (закон Бойля—Мариотта $pV=\text{const}$ ).

Процесс 2–3. Участок вертикальный: плотность не меняется, $\rho=\text{const}=\rho_2$ , а давление убывает от $p_2$ до $p_3$ . Тогда:

объём $V=\dfrac{m}{\rho}$ остаётся постоянным — процесс изохорный, $V_3=V_2$ ;
температура $T=\dfrac{pM}{\rho R}$ при постоянной плотности прямо пропорциональна давлению, поэтому она убывает во столько же раз, во сколько уменьшилось давление: $\dfrac{T_3}{T_2}=\dfrac{p_3}{p_2}\lt 1$ (закон Шарля $\dfrac{p}{T}=\text{const}$ ). Газ изохорно охлаждается.

Ответ: на участке 1–2 давление прямо пропорционально плотности, поэтому температура постоянна (изотерма), а объём убывает обратно пропорционально растущей плотности: $V=\dfrac{m}{\rho}$ . На участке 2–3 плотность не меняется, поэтому объём постоянен (изохора), а температура, будучи при $\rho=\text{const}$ прямо пропорциональной давлению, уменьшается в $\dfrac{p_2}{p_3}$ раз.