Задание №21 — Заряженные частицы в электромагнитном поле

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль отрицательного заряда, сообщённого шарику; $E$ — модуль напряжённости электрического поля заряженной пластины; $g$ — ускорение свободного падения; $\nu_0$ и $\nu$ — частоты малых свободных колебаний незаряженного и заряженного шарика соответственно.

Физические явления и законы, используемые в объяснении.

• Равномерно заряженная плоскость создаёт вблизи себя однородное электрическое поле. Размеры пластины во много раз превышают длину нити, поэтому во всей области, где движется шарик, поле можно считать однородным: $E=\text{const}$, а вектор $\vec{E}$ перпендикулярен пластине и направлен от неё (вертикально вверх), так как пластина заряжена положительно.
• На точечный заряд в электрическом поле действует сила $\vec{F}=q\vec{E}$; для отрицательного заряда она направлена противоположно $\vec{E}$.
• Шарик на нити — математический маятник. Если, кроме силы натяжения нити, на шарик действуют только постоянные силы с равнодействующей $\vec{F}_{\text{пост}}$, то малые колебания гармонические, а их частота $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g_{\text{эф}}}{L}}$, где $g_{\text{эф}}=\dfrac{F_{\text{пост}}}{m}$ — «эффективное ускорение свободного падения». Положение равновесия — вдоль $\vec{F}_{\text{пост}}$.

До сообщения заряда. На незаряженный шарик действует только сила тяжести $m\vec{g}$ (и сила натяжения нити), поэтому $g_{\text{эф}}=g$ и $\nu_0=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}$.

После сообщения отрицательного заряда. К силе тяжести добавляется постоянная сила со стороны поля пластины $F=qE$. Она направлена противоположно $\vec{E}$, то есть вертикально вниз, к пластине: отрицательный заряд шарика и положительный заряд пластины притягиваются. Эта сила сонаправлена с силой тяжести, поэтому равнодействующая постоянных сил равна $F_{\text{пост}}=mg+qE$, и

$$g_{\text{эф}}=\frac{mg+qE}{m}=g+\frac{qE}{m}\gt g.$$

Так как поле однородно, эта добавочная сила не меняется ни по модулю, ни по направлению при отклонении шарика, — колебания остаются гармоническими, а роль $g$ играет $g_{\text{эф}}$. Тогда

$$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{\text{эф}}}{L}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g+\dfrac{qE}{m}}{L}}=\nu_0\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}\gt\nu_0 .$$

Период $T=\dfrac{1}{\nu}$ при этом уменьшится.

Ответ: частота малых свободных колебаний увеличится (в $\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}$ раз). Причина: однородное поле положительно заряженной пластины притягивает отрицательно заряженный шарик к пластине, эта постоянная сила складывается с силой тяжести, эффективное ускорение возрастает до $g+\frac{qE}{m}$, а частота маятника пропорциональна $\sqrt{g_{\text{эф}}}$.