Задание №21 — Заряженные частицы в электромагнитном поле

#68881Задание №21ФИПИ

Электрическое поле. Его действие на электрические зарядыНапряжённость электрического поля

Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной металлической пластиной, равномерно заряженной положительным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится частота малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить отрицательный заряд.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $m$ — масса шарика; $L$ — длина нити; $q$ — модуль отрицательного заряда, сообщённого шарику; $E$ — модуль напряжённости электрического поля заряженной пластины; $g$ — ускорение свободного падения; $\nu_0$ и $\nu$ — частоты малых свободных колебаний незаряженного и заряженного шарика соответственно.

Физические явления и законы, используемые в объяснении.

Равномерно заряженная плоскость создаёт вблизи себя однородное электрическое поле. Размеры пластины во много раз превышают длину нити, поэтому во всей области, где движется шарик, поле можно считать однородным: $E=\text{const}$ , а вектор $\vec{E}$ перпендикулярен пластине и направлен от неё (вертикально вверх), так как пластина заряжена положительно.
На точечный заряд в электрическом поле действует сила $\vec{F}=q\vec{E}$ ; для отрицательного заряда она направлена противоположно $\vec{E}$ .
Шарик на нити — математический маятник. Если, кроме силы натяжения нити, на шарик действуют только постоянные силы с равнодействующей $\vec{F}_{\text{пост}}$ , то малые колебания гармонические, а их частота $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g_{\text{эф}}}{L}}$ , где $g_{\text{эф}}=\dfrac{F_{\text{пост}}}{m}$ — «эффективное ускорение свободного падения». Положение равновесия — вдоль $\vec{F}_{\text{пост}}$ .

До сообщения заряда. На незаряженный шарик действует только сила тяжести $m\vec{g}$ (и сила натяжения нити), поэтому $g_{\text{эф}}=g$ и $\nu_0=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{L}}$ .

После сообщения отрицательного заряда. К силе тяжести добавляется постоянная сила со стороны поля пластины $F=qE$ . Она направлена противоположно $\vec{E}$ , то есть вертикально вниз, к пластине: отрицательный заряд шарика и положительный заряд пластины притягиваются. Эта сила сонаправлена с силой тяжести, поэтому равнодействующая постоянных сил равна $F_{\text{пост}}=mg+qE$ , и

$g_{\text{эф}}=\frac{mg+qE}{m}=g+\frac{qE}{m}\gt g.$

Так как поле однородно, эта добавочная сила не меняется ни по модулю, ни по направлению при отклонении шарика, — колебания остаются гармоническими, а роль $g$ играет $g_{\text{эф}}$ . Тогда

$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{\text{эф}}}{L}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g+\dfrac{qE}{m}}{L}}=\nu_0\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}\gt\nu_0 .$

Период $T=\dfrac{1}{\nu}$ при этом уменьшится.

Ответ: частота малых свободных колебаний увеличится (в $\sqrt{1+\frac{qE}{mg}}$ раз). Причина: однородное поле положительно заряженной пластины притягивает отрицательно заряженный шарик к пластине, эта постоянная сила складывается с силой тяжести, эффективное ускорение возрастает до $g+\frac{qE}{m}$ , а частота маятника пропорциональна $\sqrt{g_{\text{эф}}}$ .