Задание №23 — КПД тепловой машины. Цикл Карно

Решение:

Обозначения. $A=1$ МДж $=10^{6}$ Дж — работа, совершённая машиной; $m=12{,}1$ кг — масса растаявшего льда; $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}$ Дж/кг — удельная теплота плавления льда; $T_{\text{х}}=273$ К — температура холодильника (лёд при $0$ °С); $T_{\text{н}}$ — искомая температура нагревателя, то есть воды в резервуаре; $Q_{\text{н}}$ — теплота, полученная от нагревателя; $Q_{\text{х}}$ — теплота, отданная холодильнику; $\eta$ — КПД машины.

Законы. Максимально возможный КПД тепловой машины при данных температурах нагревателя и холодильника достигается в цикле Карно (теорема Карно): $$\eta_{\max}=1-\frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}.$$ По первому началу термодинамики для замкнутого цикла (внутренняя энергия рабочего тела за цикл не меняется) $A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}$, а по определению $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{н}}}$. Лёд в холодильнике уже находится при температуре плавления, поэтому вся отданная ему теплота идёт на плавление: $Q_{\text{х}}=\lambda m$.

Вывод формулы. Из $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{н}}}=\dfrac{Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}=1-\dfrac{Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}$ и $\eta=1-\dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$ следует $$\frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=\frac{Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}} \;\Rightarrow\; T_{\text{н}}=T_{\text{х}}\,\frac{Q_{\text{н}}}{Q_{\text{х}}}=T_{\text{х}}\,\frac{A+\lambda m}{\lambda m}=T_{\text{х}}\left(1+\frac{A}{\lambda m}\right).$$

Расчёт. $Q_{\text{х}}=\lambda m=3{,}3\cdot10^{5}\cdot 12{,}1=3{,}993\cdot10^{6}$ Дж; $Q_{\text{н}}=A+Q_{\text{х}}=10^{6}+3{,}993\cdot10^{6}=4{,}993\cdot10^{6}$ Дж. Тогда $$T_{\text{н}}=273\ \text{К}\cdot\frac{4{,}993\cdot10^{6}}{3{,}993\cdot10^{6}}\approx 273\cdot 1{,}250\approx 341\ \text{К}.$$ В градусах Цельсия: $t_{\text{н}}=341-273\approx 68$ °С. Проверка правдоподобия: КПД машины $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{н}}}=\dfrac{1}{4{,}993}\approx 0{,}20$, что совпадает с $1-\dfrac{273}{341}\approx 0{,}20$.

Ответ: $T_{\text{н}}\approx 341$ К, то есть $t_{\text{н}}\approx 68$ °С.