Задание №23 — Увеличение линзы

Решение:

Обозначения. $D = 5\ \text{дптр}$ — оптическая сила линзы, $F = 1/D$ — её фокусное расстояние, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от изображения до линзы, $h$ — высота предмета, $H$ — высота изображения, $k = H/h = 2$ — увеличение.

Используемые законы. Так как изображение действительное, оно лежит по другую сторону линзы, и формула тонкой линзы записывается в виде

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} = D.$$

Линейное увеличение тонкой линзы связано с расстояниями до предмета и до изображения соотношением (следует из подобия треугольников, образованных лучом, идущим через оптический центр линзы):

$$k = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}\quad \Rightarrow \quad f = k\,d.$$

Преобразования. Подставим $f = k\,d$ в формулу линзы:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{k\,d} = D,\qquad \frac{k+1}{k\,d} = D,\qquad d = \frac{k+1}{k\,D}.$$

Тогда расстояние от изображения до линзы

$$f = k\,d = \frac{k+1}{D}.$$

Расчёт. $f = \dfrac{2+1}{5\ \text{дптр}} = 0{,}6\ \text{м} = 60\ \text{см}.$

Проверка. При этом $d = f/k = 30\ \text{см}$, что больше фокусного расстояния $F = 1/D = 20\ \text{см}$, но меньше $2F = 40\ \text{см}$, — именно в этом случае собирающая линза даёт действительное увеличенное изображение, как и сказано в условии.

Ответ: 60 см.