Задание №23 — Электростатическое поле точечного заряда

Решение:

Обозначения. $q_A=+2$ нКл — известный заряд; $q_B$ — искомый заряд; $r_A$, $r_B$ — расстояния от зарядов до точки $C$; $\vec E_A$, $\vec E_B$ — напряжённости полей, создаваемых в точке $C$ зарядами $q_A$ и $q_B$; $E_A$, $E_B$ — их модули; $a$ — сторона клетки; $k$ — коэффициент в законе Кулона. Оси: $x$ — вправо, $y$ — вверх.

Законы. Модуль напряжённости поля точечного заряда $E=k\dfrac{|q|}{r^{2}}$; поле положительного заряда направлено от заряда, отрицательного — к заряду. Поля складываются по принципу суперпозиции: $\vec E=\vec E_A+\vec E_B$.

Геометрия по рисунку. Точка $C$ расположена на 4 клетки правее и на 4 клетки выше заряда $q_A$ и на 4 клетки левее и на 4 клетки выше заряда $q_B$. Поэтому $$r_A=r_B=\sqrt{(4a)^2+(4a)^2}=4a\sqrt2,$$ причём отрезок $AC$ идёт вправо и вверх под углом $45^{\circ}$ к горизонтали, а отрезок $BC$ — влево и вверх под углом $45^{\circ}$. Изображённый в точке $C$ вектор $\vec E$ направлен вправо и вниз: на 3 клетки вправо приходится 1 клетка вниз.

Направление $\vec E_A$. Заряд $q_A$ положителен, поэтому $\vec E_A$ направлена от $A$ к $C$, то есть вправо и вверх под $45^{\circ}$: $$E_{Ax}=+\frac{E_A}{\sqrt2},\qquad E_{Ay}=+\frac{E_A}{\sqrt2}.$$

Знак заряда $q_B$. Если бы заряд $q_B$ был положительным, то $\vec E_B$ была бы направлена от $B$ к $C$, то есть влево и вверх, и её проекция на ось $y$ была бы положительной: $E_{By}=+E_B/\sqrt2$. Тогда $E_y=\dfrac{E_A+E_B}{\sqrt2}\gt 0$, и суммарный вектор был бы направлен вверх, что противоречит рисунку. Значит, $q_B\lt 0$, и $\vec E_B$ направлена от $C$ к $B$, то есть вправо и вниз под $45^{\circ}$: $$E_{Bx}=+\frac{E_B}{\sqrt2},\qquad E_{By}=-\frac{E_B}{\sqrt2}.$$

Модуль заряда $q_B$. По принципу суперпозиции $$E_x=\frac{E_A+E_B}{\sqrt2},\qquad E_y=\frac{E_A-E_B}{\sqrt2}.$$ По рисунку вектор $\vec E$ идёт на 3 клетки вправо и на 1 клетку вниз, то есть $\dfrac{E_x}{-E_y}=\dfrac{3}{1}$. Отсюда $$\frac{E_A+E_B}{E_B-E_A}=3 \;\Rightarrow\; E_A+E_B=3E_B-3E_A \;\Rightarrow\; 4E_A=2E_B \;\Rightarrow\; E_B=2E_A.$$ Так как $r_A=r_B$, из $E=k|q|/r^2$ следует $$\frac{|q_B|}{|q_A|}=\frac{E_B}{E_A}=2 \;\Rightarrow\; |q_B|=2\cdot 2\ \text{нКл}=4\ \text{нКл}.$$

Проверка. При $E_B=2E_A$ суммарный вектор $\vec E\propto(3;-1)$ — направлен вправо и вниз с наклоном «3 клетки вправо, 1 клетка вниз», как на рисунке.

Ответ: $q_B=-4$ нКл.