Задание №23 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $T=373$ К ($100$ °С) — температура в сосуде, она не меняется; $m_{\text{п}}=2$ г — начальная масса пара; $m_{\text{ж}}=2$ г — начальная масса воды; $V_1$ — начальный объём, занятый паром; $V_2=3V_1$ — объём после расширения; $\rho_{\text{н}}$ — плотность насыщенного пара при температуре $T$; $m'$ — искомая масса пара после увеличения объёма; $M$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Законы и модель. Пока в сосуде одновременно есть жидкость и её пар, пар насыщенный. Давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ зависит только от температуры и не зависит от объёма. Считая пар идеальным газом, по уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{M}RT$ получаем плотность насыщенного пара $$\rho_{\text{н}}=\frac{p_{\text{н}}M}{RT},$$ которая при постоянной температуре тоже постоянна. Значит, пока есть жидкость, масса насыщенного пара прямо пропорциональна занимаемому им объёму. Объёмом жидкости по сравнению с объёмом пара пренебрегаем, поэтому объём пара равен объёму сосуда.

Проверка предположения «жидкость осталась». Если бы после увеличения объёма в 3 раза в сосуде ещё оставалась вода, пар был бы по-прежнему насыщенным, и его масса была бы $$m'=\rho_{\text{н}}V_2=\rho_{\text{н}}\cdot 3V_1=3m_{\text{п}}=3\cdot2=6\ \text{г}.$$ Но всего воды (в обеих фазах) в сосуде $m_{\text{п}}+m_{\text{ж}}=2+2=4$ г, и 6 г пара получить неоткуда. Предположение неверно.

Вывод. Следовательно, при расширении испарилась вся жидкость, и весь пар — это вся вода, находившаяся в сосуде: $$m'=m_{\text{п}}+m_{\text{ж}}=2+2=4\ \text{г}.$$ Результат непротиворечив: $4\ \text{г}\lt 6\ \text{г}$, то есть пара меньше, чем требуется для насыщения объёма $3V_1$, поэтому пар стал ненасыщенным и жидкости действительно не осталось.

Ответ: $m'=4$ г.