Задание №21 — Изопроцессы. Графики изопроцессов

Дано: ν = 1 моль (гелий); состояние 1: (T₀; V₀); состояние 2: (3T₀; V₀); состояние 3: (3T₀; 3V₀)

Найти: сравнить A₂₃ и $A '_{31} ;$ построить график цикла в осях p–V

Решение:
1) Гелий разрежен, поэтому его описывает модель идеального газа и справедливо уравнение Менделеева - Клапейрона $p V = \nu R T .$ Обозначим $p_{0} = \frac{\nu R T_{0}}{V_{0}}$ - давление в состоянии 1.
2) Участок 1–2 в осях V–T - горизонтальный отрезок: объём постоянен (изохорный нагрев). По закону Шарля $\frac{p}{T} = const ,$ температура выросла в 3 раза, значит $p_{2} = 3 p_{0} .$ Работа газа на этом участке равна нулю.
3) Участок 2–3 - вертикальный отрезок: температура постоянна и равна 3T₀ (изотермическое расширение от V₀ до 3V₀). По закону Бойля - Мариотта $p V = const ,$ поэтому $p_{3} = \frac{p_{2} V_{0}}{3 V_{0}} = p_{0} .$ В осях p–V этот участок - дуга гиперболы от точки (V₀; 3p₀) до точки (3V₀; p₀).
4) Точки 3 и 1 лежат на прямой, продолжение которой проходит через начало координат в осях V–T, то есть $\frac{V}{T} = const$ - это изобарное сжатие при давлении p₀ от 3V₀ до V₀ (в осях p–V - горизонтальный отрезок влево).
5) График цикла в осях p–V: 1 (V₀; p₀) → 2 (V₀; 3p₀) - вертикальный отрезок вверх (изохора); 2 → 3 (3V₀; p₀) - участок изотермы (гипербола); 3 → 1 - горизонтальный отрезок влево при p = p₀ (изобара).
6) Работа газа численно равна площади под графиком процесса в осях p–V. Работа газа в изотермическом расширении 2–3 равна площади под гиперболой на интервале от V₀ до 3V₀. Работа внешних сил при изобарном сжатии 3–1 равна модулю работы газа на этом участке: $A '_{31} = p_{0} \left(3 V_{0} - V_{0}\right) = 2 p_{0} V_{0} = 2 \nu R T_{0} ,$ то есть площади под изобарой p = p₀ на том же интервале объёмов.
7) На всём интервале $V_{0} \leq V < 3 V_{0}$ изотерма 2–3 лежит выше прямой p = p₀ (в точке V = 3V₀ они совпадают). Значит площадь под изотермой больше площади под изобарой, и
$A_{23} > A '_{31}$
Проверочный расчёт: $A_{23} = \nu R \cdot 3 T_{0} \ln 3 \approx 3{,}3 \nu R T_{0} ,$ $A '_{31} = 2 \nu R T_{0} ,$ то есть $\frac{A_{23}}{A '_{31}} = 1{,}5 \ln 3 \approx 1{,}6 .$

Ответ: Работа газа в процессе 2–3 больше работы внешних сил в процессе 3–1 (примерно в 1,6 раза)

Источник: ФИПИ

Критерии оценивания выполнения задания (максимум 3 балла)

3 балла. Приведено полное правильное решение, включающее правильный ответ (в данном случае — вывод о том, что работа газа в процессе 2–3 больше работы внешних сил в процессе 3–1) и исчерпывающие верные рассуждения с прямым указанием наблюдаемых явлений и законов (уравнение состояния идеального газа, признаки изохорного, изотермического и изобарного процессов, связь работы с площадью под графиком в осях p–V), а также верно построенный график цикла в осях p–V.

2 балла. Дан правильный ответ, приведено объяснение, но в решении имеется один из недостатков: не указано или не использовано одно из физических явлений, свойств, определений или законов, необходимых для полного объяснения; и (или) в рассуждениях содержится один логический недочёт; и (или) в решении имеются лишние записи, не отделённые от решения; и (или) имеется неточность в указании одного из законов (формул) или в построении графика.

1 балл. Дан правильный ответ и приведено объяснение, но в нём не указаны два явления или физических закона, необходимых для полного верного объяснения; ИЛИ указаны все необходимые явления и законы, но рассуждения, направленные на получение ответа, не доведены до конца либо содержат ошибки; ИЛИ указаны не все необходимые явления и законы, но имеются верные рассуждения, направленные на решение задачи.

0 баллов. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям.