Задание №21 — Математический и пружинный маятник

Дано: α = 60° — максимальный угол отклонения нити от вертикали; β = 30° — угол нити с вертикалью в рассматриваемый момент; шарик движется вправо-вверх; сопротивление воздуха не учитывается; L — длина нити

Найти: рисунок с силами, приложенными к шарику; направление ускорения шарика - ?

Обоснование:
1) Задачу рассматриваем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, поэтому в ней применимы законы Ньютона.
2) Шарик маленький, он движется по дуге окружности радиуса L, его размеры на решение не влияют, поэтому описываем шарик моделью материальной точки.
3) Нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому сила натяжения направлена вдоль нити, а траектория шарика — дуга окружности радиуса L с центром в точке подвеса.
4) Сопротивление воздуха не учитывается и нить нерастяжима, поэтому механическая энергия шарика сохраняется.

Решение:
1) На шарик действуют только две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ (направлена вертикально вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (направлена вдоль нити от шарика к точке подвеса). На рисунке из центра шарика проводим вектор $m \vec{g}$ вертикально вниз и вектор $\vec{T}$ вдоль нити вверх.
2) Ускорение шарика $\vec{a} = \frac{\vec{T} + m \vec{g}}{m}$ удобно разложить на нормальную (центростремительную) составляющую $a_{n} ,$ направленную вдоль нити к точке подвеса, и тангенциальную составляющую $a_{\tau} ,$ направленную по касательной к траектории.
3) Нормальная составляющая $a_{n} = \frac{\upsilon^{2}}{L} .$ В рассматриваемый момент β = 30° $\lt$ α = 60°, то есть шарик ещё не дошёл до крайнего положения и его скорость отлична от нуля. По закону сохранения механической энергии
$\frac{m \upsilon^{2}}{2} = m g L \left(\cos \beta - \cos \alpha \right)$
$a_{n} = \frac{\upsilon^{2}}{L} = 2 g \left(\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ}\right) \approx 0{,}73 g \neq 0$
4) Тангенциальная составляющая создаётся проекцией силы тяжести на касательную (проекция силы натяжения на касательную равна нулю):
$a_{\tau} = g \sin \beta = g \sin 30^{\circ} = 0{,}5 g \neq 0$
Шарик движется вверх по дуге, поэтому $a_{\tau}$ направлена противоположно скорости — шарик тормозится.
5) Обе составляющие отличны от нуля, значит вектор полного ускорения не направлен ни вдоль нити (тогда была бы $a_{\tau} = 0$), ни перпендикулярно нити (тогда была бы $a_{n} = 0$). Вектор ускорения отклонён от нити в сторону, противоположную движению, на угол
$\varphi = arctg \frac{a_{\tau}}{a_{n}} = arctg \frac{0{,}5}{0{,}73} \approx 34^{\circ}$
и лежит внутри области, ограниченной траекторией шарика.

Ответ: к шарику приложены сила тяжести $m \vec{g}$ (вертикально вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (вдоль нити к точке подвеса); ускорение шарика направлено внутрь траектории.

Источник: ФИПИ

Критерии оценивания выполнения задания (максимум 3 балла)

3 балла. Приведено полное правильное решение, включающее правильный ответ (в данном случае — рисунок с указанием сил, приложенных к шарику, и вывод о том, что ускорение шарика направлено внутрь траектории) и исчерпывающие верные рассуждения с прямым указанием наблюдаемых явлений и законов (второй закон Ньютона, разложение ускорения на нормальную и тангенциальную составляющие, закон сохранения механической энергии).

2 балла. Дан правильный ответ, приведено объяснение, но в решении имеется один из недостатков: не указано или не использовано одно из физических явлений, свойств, определений или законов, необходимых для полного объяснения; и (или) в рассуждениях содержится один логический недочёт; и (или) в решении имеются лишние записи, не отделённые от решения; и (или) имеется неточность в указании одного из законов (формул) или в рисунке.

1 балл. Дан правильный ответ и приведено объяснение, но в нём не указаны два явления или физических закона, необходимых для полного верного объяснения; ИЛИ указаны все необходимые явления и законы, но рассуждения, направленные на получение ответа, не доведены до конца либо содержат ошибки; ИЛИ указаны не все необходимые явления и законы, но имеются верные рассуждения, направленные на решение задачи.

0 баллов. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям.