Задание №10 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную воспользуемся развёрнутой формой записи числа. Этот метод заключается в суммировании произведений каждой цифры числа на основание системы счисления (в данном случае $2$), возведённое в степень, соответствующую позиции (разряду) этой цифры.

Шаг 1. Пронумеруем разряды числа.
Запишем число $100110111_{2}$ и пронумеруем его разряды справа налево, начиная с нуля:
Цифра $1$ (крайняя справа) — разряд $0$;
Цифра $1$ — разряд $1$;
Цифра $1$ — разряд $2$;
Цифра $0$ — разряд $3$;
Цифра $1$ — разряд $4$;
Цифра $1$ — разряд $5$;
Цифра $0$ — разряд $6$;
Цифра $0$ — разряд $7$;
Цифра $1$ (крайняя слева) — разряд $8$.

Шаг 2. Составим сумму степеней двойки.
Умножим каждую цифру на $2$ в степени её разряда:
$1 \cdot 2^{8} + 0 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Шаг 3. Вычислим значения степеней и произведений.
Вспомним значения степеней двойки:
$2^{8} = 256$
$2^{5} = 32$
$2^{4} = 16$
$2^{2} = 4$
$2^{1} = 2$
$2^{0} = 1$

Слагаемые с множителем $0$ можно сразу исключить из расчёта, так как они равны нулю.

Шаг 4. Найдём итоговую сумму.
$256 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1$
Сложим числа по порядку:
$256 + 32 = 288$
$288 + 16 = 304$
$304 + 4 = 308$
$308 + 2 = 310$
$310 + 1 = 311$

Таким образом, двоичное число $100110111_{2}$ равно десятичному числу $311_{10}$.

Ответ: 311

Источник: ФИПИ