Задание №16 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать каждое введённое число на соответствие двум условиям в шестнадцатеричной системе счисления: трёхзначность и окончание на цифру $4$.

Шаг 1. Разбор условий.
1. Трёхзначность в шестнадцатеричной системе. Минимальное трёхзначное число в системе с основанием $16$ — это $100_{16}$, а максимальное — $FFF_{16}$.
Переведём их в десятичную систему:
Нижняя граница: $16^2 = 256$.
Верхняя граница: $16^3 - 1 = 4096 - 1 = 4095$.
Следовательно, число $x$ трёхзначно в шестнадцатеричной системе, если $256 \le x \le 4095$.
2. Окончание на цифру 4. Последняя цифра числа в любой системе счисления — это остаток от деления этого числа на основание системы. Значит, нам нужно, чтобы остаток от деления числа на $16$ был равен $4$.
Математически: $x \pmod{16} = 4$.

Шаг 2. Алгоритм решения.
Мы будем считывать числа в цикле до тех пор, пока не встретим $0$. Для каждого числа проверим выполнение обоих условий одновременно (используя логическое "И"). Если условия верны, увеличим счётчик на $1$.

Шаг 3. Программная реализация (на языке Python).
count = 0
x = int(input())
while x != 0:
    if 256 <= x <= 4095 and x % 16 == 4:
        count += 1
    x = int(input())
print(count)

Шаг 4. Проверка на примере.
Рассмотрим числа из примера:
1. $164$: $256 \le 164 \le 4095$ — Ложь. (Число двузначно в $16$-й системе: $A4_{16}$).
2. $276$: $256 \le 276 \le 4095$ — Истина. Проверим окончание: $276 \pmod{16} = 4$ (так как $276 = 16 \cdot 17 + 4$). Подходит. (Это $114_{16}$).
3. $884$: $256 \le 884 \le 4095$ — Истина. Проверим окончание: $884 \pmod{16} = 4$ (так как $884 = 16 \cdot 55 + 4$). Подходит. (Это $374_{16}$).
4. $948$: $256 \le 948 \le 4095$ — Истина. Проверим окончание: $948 \pmod{16} = 4$ (так как $948 = 16 \cdot 59 + 4$). Подходит. (Это $3B4_{16}$).
5. $4116$: $256 \le 4116 \le 4095$ — Ложь. (Число четырёхзначно в $16$-й системе).
Итого: $3$ подходящих числа.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ