Задание №16 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать каждое число из последовательности и проверить, удовлетворяет ли оно двум условиям одновременно: его шестнадцатеричная запись должна быть трёхзначной и заканчиваться на цифру $A$.

Шаг 1. Разбор условий.
1. Трёхзначность в шестнадцатеричной системе.
Минимальное трёхзначное число в шестнадцатеричной системе — это $100_{16}$. Переведём его в десятичную систему: $1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0 = 256$.
Максимальное трёхзначное число — это $FFF_{16}$. Переведём его: $15 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 4095$.
Следовательно, число $x$ является трёхзначным в шестнадцатеричной системе, если оно находится в диапазоне: $256 \le x \le 4095$.

2. Окончание на цифру $A$.
Последняя цифра в любой системе счисления — это остаток от деления числа на основание этой системы. Цифра $A$ в шестнадцатеричной системе соответствует десятичному числу $10$.
Значит, условие "оканчивается на $A$" означает, что остаток от деления числа на $16$ равен $10$. На языке программирования это записывается как $x \pmod{16} = 10$.

Шаг 2. Алгоритм решения.
1. Сначала считываем количество чисел $N$.
2. Создаём переменную-счётчик (например, $count$) и обнуляем её.
3. В цикле от $1$ до $N$ считываем очередное число $x$.
4. Проверяем составное условие: $(x \ge 256)$ И $(x \le 4095)$ И $(x \pmod{16} = 10)$.
5. Если условие выполняется, увеличиваем счётчик на $1$.
6. После завершения цикла выводим значение счётчика.

Шаг 3. Пример работы.
Рассмотрим числа из примера:
- $170$: $170 < 256$ (не трёхзначное).
- $282$: $256 \le 282 \le 4095$ — верно. Проверим остаток: $282 / 16 = 17$ (остаток $10$). Подходит! ($282_{10} = 11A_{16}$)
- $890$: $256 \le 890 \le 4095$ — верно. Проверим остаток: $890 / 16 = 55$ (остаток $10$). Подходит! ($890_{10} = 37A_{16}$)
- $954$: $256 \le 954 \le 4095$ — верно. Проверим остаток: $954 / 16 = 59$ (остаток $10$). Подходит! ($954_{10} = 3BA_{16}$)
- $4122$: $4122 > 4095$ (уже четырёхзначное).
Итого: $3$ числа.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ