Задание №16 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать каждое введённое число и проверить, удовлетворяет ли оно двум условиям одновременно:
1. Шестнадцатеричная запись числа является трёхзначной.
2. Шестнадцатеричная запись числа оканчивается на цифру $F$.

Разберём эти условия с точки зрения математики:

Шаг 1. Условие трёхзначности в 16-ричной системе.
Минимальное трёхзначное число в шестнадцатеричной системе — это $100_{16}$. Переведём его в десятичную систему:
$1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0 = 256$.
Максимальное трёхзначное число — это $FFF_{16}$. Переведём его:
$15 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 4095$.
Следовательно, число $x$ трёхзначно в 16-ричной системе, если $256 \le x \le 4095$.

Шаг 2. Условие окончания на цифру F.
Последняя цифра числа в любой системе счисления с основанием $n$ — это остаток от деления этого числа на $n$.
Цифра $F$ в шестнадцатеричной системе соответствует десятичному числу $15$.
Значит, число оканчивается на $F$, если остаток от его деления на $16$ равен $15$. В программировании это записывается как $x \pmod{16} = 15$.

Шаг 3. Алгоритм решения.
1. Создаём переменную-счётчик $count$ и обнуляем её.
2. Организуем цикл чтения чисел до тех пор, пока не встретим $0$.
3. Для каждого числа проверяем: ($x \ge 256$) И ($x \le 4095$) И ($x \pmod{16} = 15$).
4. Если условия верны, увеличиваем $count$ на $1$.
5. После окончания ввода выводим значение $count$.

Пример реализации на языке Python:
count = 0
x = int(input())
while x != 0:
    if 256 <= x <= 4095 and x % 16 == 15:
        count += 1
    x = int(input())
print(count)

Проверим на примере из условия:
1. $175$: $175 < 256$ (не подходит).
2. $287$: $256 \le 287 \le 4095$. Проверим остаток: $287 / 16 = 17$ (остаток $15$). Подходит! ($count = 1$).
3. $895$: $256 \le 895 \le 4095$. Проверим остаток: $895 / 16 = 55$ (остаток $15$). Подходит! ($count = 2$).
4. $959$: $256 \le 959 \le 4095$. Проверим остаток: $959 / 16 = 59$ (остаток $15$). Подходит! ($count = 3$).
5. $4127$: $4127 > 4095$ (не подходит, это уже четырёхзначное число $101F_{16}$).
Итого: 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ