Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 7)^{2} < \sqrt{11}(x - 7)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 7)^{2} - \sqrt{11}(x - 7) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 7)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 7) \cdot ((x - 7) - \sqrt{11}) < 0$,
$(x - 7)(x - 7 - \sqrt{11}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 7)(x - 7 - \sqrt{11}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = 7$;
2) $x - 7 - \sqrt{11} = 0 \Rightarrow x_2 = 7 + \sqrt{11}$.

Шаг 4. Определение знаков на интервалах.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 7)$
2) $(7; 7 + \sqrt{11})$
3) $(7 + \sqrt{11}; +\infty)$
Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, функция принимает отрицательные значения между корнями.

Проверим знак на интервале $(7; 7 + \sqrt{11})$. Возьмём число чуть больше 7, тогда первый множитель $(x-7)$ положителен, а второй $(x - 7 - \sqrt{11})$ отрицателен. Произведение будет меньше нуля. Это именно то, что нам нужно по условию неравенства.

Шаг 5. Запись ответа.
Решением неравенства является интервал $(7; 7 + \sqrt{11})$.

Ответ: $(7; 7 + \sqrt{11})$

Источник: ФИПИ