Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разложения на множители. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался нуль:

$x^{3} + 5x^{2} - 9x - 45 = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым:

$(x^{3} + 5x^{2}) + (-9x - 45) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести $x^{2}$, а из второй — число $-9$:

$x^{2}(x + 5) - 9(x + 5) = 0$

Заметим, что теперь у нас появился общий множитель $(x + 5)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 5)(x^{2} - 9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 5 = 0$
$x = -5$

2) $x^{2} - 9 = 0$
Это уравнение можно решить, перенеся девятку в правую часть: $x^{2} = 9$.
Отсюда получаем два корня:
$x = 3$ или $x = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-5$, $-3$ и $3$.

Ответ: -5; -3; 3

Источник: ФИПИ