Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится, и мы получим уравнение только с одной переменной $x$.

Шаг 2. Сложение уравнений.
Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x^2 + y) + (4x^2 - y) = 4 + 2$
$2x^2 + 4x^2 + y - y = 6$
$6x^2 = 6$

Шаг 3. Нахождение значений $x$.
Разделим обе части уравнения на $6$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Шаг 4. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим значение $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением: $2x^2 + y = 4$, откуда $y = 4 - 2x^2$.

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 4 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.
Получаем первую пару решений: $(1; 2)$.

2) Если $x_2 = -1$, то:
$y_2 = 4 - 2 \cdot (-1)^2 = 4 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.
Получаем вторую пару решений: $(-1; 2)$.

Шаг 5. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$.

Ответ: (1; 2), (-1; 2)

Источник: ФИПИ