Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 8)^{2} < \sqrt{3}(x - 8)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 8)^{2} - \sqrt{3}(x - 8) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 8)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 8) \cdot ((x - 8) - \sqrt{3}) < 0$,
$(x - 8)(x - 8 - \sqrt{3}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней соответствующего уравнения.
Чтобы найти границы интервалов, приравняем левую часть к нулю:
$(x - 8)(x - (8 + \sqrt{3})) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 8 = 0 \Rightarrow x_{1} = 8$;
2) $x - (8 + \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow x_{2} = 8 + \sqrt{3}$.

Шаг 4. Решение методом интервалов.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 8)$
2) $(8; 8 + \sqrt{3})$
3) $(8 + \sqrt{3}; +\infty)$
Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен). Значит, на крайних интервалах выражение принимает положительные значения, а на среднем — отрицательные.

Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями:
$8 < x < 8 + \sqrt{3}$.

Запишем результат в виде промежутка: $(8; 8 + \sqrt{3})$.

Ответ: $(8; 8 + \sqrt{3})$

Источник: ФИПИ